Chapitre 9 : Séries numériques

5 Séries Numériques Réelles Alternées

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5 Séries Numériques Réelles Alternées

5.1 Séries alternées

Définition : La série $\displaystyle\sum u_{n}$ est alternée $\Leftrightarrow \displaystyle\sum\left( -1\right) ^{n}u_{n}$ est une série de signe constant.
On parle aussi de série alternée à partir d'un certain rang.

Il s'agit donc de séries à valeur réelle.

Exemple : $\displaystyle\sum\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{n}$ est une série alternée, mais pas $\displaystyle\sum\cos n$ .

5.2 Critère spécial des séries alternées

Théorème : $\displaystyle\sum u_{n}$ une série alternée telle que la suite $\left( \left\vert u_{n}\right\vert \right)$ est décroissante tendant vers 0 à l'infini.

Alors, $\displaystyle\sum u_{n}$ est convergente de somme et $s\in\left[ s_{n},s_{n+1}\right]$ $\left( \text{ou }\left[ s_{n+1},s_{n}\right] \right)$ .
De plus, avec $r_{n}=s-s_{n}$ , on a $\left\vert r_{n}\right\vert \leqslant\left\vert u_{n+1}\right\vert$ , et $r_{n}$ est du signe de $u_{n+1}$ .

On dit que la somme de la série est encadrée par 2 termes consécutifs et que le reste de la série est, en valeur absolue, majorée par son premier terme.

Ce théorème est illustré par la figure ci-dessous.

$\begin{picture}(165,40) \thicklines \put(30,10){\vector(1,0){110}} \thinline... ...+1} \right\vert $} \put(102,22){$\left\vert r_{2n} \right\vert $} \end{picture}$

Preuve. On va faire la démonstration quand $u_{n}$ est du signe de $\left( -1\right) ^{n}$ .

$\displaystyle s_{2n+2}-s_{2n}=u_{2n+2}+u_{2n+1}=\left\vert u_{2n+2}\right\vert -\left\vert u_{2n+1}\right\vert \leqslant0$

d'où $\left( s_{2n}\right)$ est décroissante.

$\displaystyle s_{2n+3}-s_{2n+1}=u_{2n+3}+u_{2n+2}=-\left\vert u_{2n+3}\right\vert +\left\vert u_{2n+2}\right\vert \geqslant0$

d'où $\left( s_{2n+1}\right)$ est croissante. D'autre part, $s_{2n+1}\leqslant s_{2n}\leqslant s_{0}=u_{0}$ . $\left( s_{2n+1}\right)$ est croissante majorée, donc convergente.
De même, $s_{2n}\geqslant s_{2n+1}\geqslant s_{1}$ . $\left( s_{2n}\right)$ est décroissante minorée, donc convergente.
Comme $s_{2n+1}-s_{2n}=u_{2n+1}$ tend vers 0, ces deux suites sont adjacentes et convergent vers la même limite .
D'où, par monotonie $s_{2n+1}\leqslant s\leqslant s_{2n}$ et $s_{2n+1}\leqslant s\leqslant s_{2n+2}$ .
C'est à dire : $\left\vert r_{n}\right\vert \leqslant\left\vert u_{n+1}\right\vert$ que soit pair ou impair. $\qedsymbol$

Exemple : $\displaystyle\sum\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{n}$ est une série alternée clairement convergente par application du critère spécial des séries alternés.

Il faut bien vérifier qu'on applique scrupuleusement le critère spécial.

Remarque : Le critère spécial des séries alternées ne s'applique pas à des équivalents.
On écrit parfois $u_{n}=v_{n}+w_{n}$ avec $\displaystyle\sum v_{n}$ alternée répondant au critère spécial des séries alternées et $\displaystyle\sum w_{n}$ absolument convergente.

Exemple : $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt{n}-\left( -1\right) ^{n}}$ est une série alternée telle que $\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt{n}-\left( -1\right) ^{n}}\underset{+\infty}{\sim }\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt{n}}$ avec $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt{n}}$ qui converge par application simple du critère spécial des séries alternées.
Cependant $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt{n}-\left( -1\right) ^{n}}$ diverge.
En effet, $\dfrac{\left( -1\right) ^{n}}{\sqrt{n}-\left( -1\right) ^{n}} =\dfrac{\left( ... ...e}rie divergente}} }_{\text{terme g\'{e}n\'{e}ral d'une s\'{e}rie divergente}}$
On a bien montré sur un exemple que le critère d'équivalence ne s'applique pas aux séries alternées...