Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

9 Déterminants

Sous-sections



9 Déterminants


9.1 Ordre 2 et 3

\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}[c]{ll} a & c\\ b & d \end{array} \right\vert =ad-bc \end{displaymath}

\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}[c]{lll} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{array} \right\vert \end{displaymath} peut se développer par la règle de Sarrus $ \searrow +\searrow+\searrow-\nearrow-\nearrow-\nearrow$

Remarque :   La règle de Sarrus n'est absolument pas généralisable à des ordres supérieurs !


9.2 Matrice triangulaire

Théorème :   Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux.


9.3 Ordre quelconque

La règle des signes est : \begin{displaymath}\left\vert \begin{array}[c]{cccccccc} + & - & + & & \cdots ... ... & & & & + & -\\ & & & & & & - & + \end{array} \right\vert \end{displaymath}
On développe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la règle de signes, on a ainsi une somme de termes du type : $ (-1)^{i+j}\, a_{ij}\,\Delta_{ij}$, où $ a_{ij}$ est le coefficient de la matrice et $ \Delta_{ij}$ est le déterminant d'ordre$ n-1$ obtenu en enlevant la ligne $ i$ et la colonne $ j$ correspondante.

Théorème :   $ \Delta=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\, a_{ij}\,\Delta_{ij}=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\, a_{ij}\,\Delta_{ij}$


9.4 Déterminant d'un produit, d'une matrice inversible

Théorème :   Pour A d'ordre $ n$, A inversible $ \Leftrightarrow$ $ \det(A)\neq0\Leftrightarrow rg(A)=n$

Théorème :   $ \det(AB)=\det(A)\det(B)$, et si $ A$ est inversible, $ \det\left( A^{-1}\right) =\dfrac{1}{\det(A)}$


9.5 Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

Théorème :   $ A\in\mathcal{M}_{p}\left( \mathbb{K}\right) $, $ C\in\mathcal{M}_{q}\left( \mathbb{K}\right) $, $ C\in\mathcal{M}_{p,q}\left( \mathbb{K}\right) $, $ O$ est la matrice nulle de $ \mathcal{M}_{q,p}\left( \mathbb{K}\right) $ et$ p+q=n$.
Alors,

\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}[c]{cc} A & B\\ O & C \end{array} \right\vert =\det\left( A\right) \times\det\left( C\right) \end{displaymath}

Remarque :   Cette propriété ne se généralise pas au déterminant d'une matrice définie par blocs et non triangulaire par blocs.



© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing