Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

9 Déterminants

Sous-sections

9 Déterminants

9.1 Ordre 2 et 3

$\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}[c]{ll} a & c\\ b & d \end{array} \right\vert =ad-bc \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}[c]{lll} . & . & .\\ . & . & .\\ . & . & . \end{array} \right\vert \end{displaymath}$ peut se développer par la règle de Sarrus $\searrow +\searrow+\searrow-\nearrow-\nearrow-\nearrow$

Remarque : La règle de Sarrus n'est absolument pas généralisable à des ordres supérieurs !

9.2 Matrice triangulaire

Théorème : Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux.

9.3 Ordre quelconque

La règle des signes est : $\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}[c]{cccccccc} + & - & + & & \cdots ... ... & & & & + & -\\ & & & & & & - & + \end{array} \right\vert \end{displaymath}$
On développe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la règle de signes, on a ainsi une somme de termes du type : $(-1)^{i+j}\, a_{ij}\,\Delta_{ij}$ , où $a_{ij}$ est le coefficient de la matrice et $\Delta_{ij}$ est le déterminant d'ordre obtenu en enlevant la ligne et la colonne correspondante.

Théorème : $\Delta=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\, a_{ij}\,\Delta_{ij}=\displaystyle \sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\, a_{ij}\,\Delta_{ij}$

9.4 Déterminant d'un produit, d'une matrice inversible

Théorème : Pour A d'ordre , A inversible $\Leftrightarrow$ $\det(A)\neq0\Leftrightarrow rg(A)=n$

Théorème : $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ , et si est inversible, $\det\left( A^{-1}\right) =\dfrac{1}{\det(A)}$

9.5 Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

Théorème : $A\in\mathcal{M}_{p}\left( \mathbb{K}\right)$ , $C\in\mathcal{M}_{q}\left( \mathbb{K}\right)$ , $C\in\mathcal{M}_{p,q}\left( \mathbb{K}\right)$ , est la matrice nulle de $\mathcal{M}_{q,p}\left( \mathbb{K}\right)$ et.
Alors,

$\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}[c]{cc} A & B\\ O & C \end{array} \right\vert =\det\left( A\right) \times\det\left( C\right) \end{displaymath}$

Remarque : Cette propriété ne se généralise pas au déterminant d'une matrice définie par blocs et non triangulaire par blocs.