Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

10 Réduction des Endomorphismes

Sous-sections

10 Réduction des Endomorphismes

10.1 Valeurs propres et vecteurs propres

Définition : $f:E\rightarrow E$ linéaire, un couple $\left( \lambda,u\right)$ $(u\neq0)$ est un couple valeur propre, vecteur propre de E $\Leftrightarrow f(u)=\lambda.u$

Définition : Pour $\lambda$ une valeur propre de E, on appelle sous-espace propreassocié à $\lambda$ , E $_{\lambda}=\{u$ $f(u)=\lambda.u\}=\ker(f-\lambda Id_{E})$
C'est clairement un sous-espace vectoriel de .

Remarque : Le noyau est donc aussi le sous-espace propre associé à la valeur propre 0.

Théorème : Les sous-espaces propres sont toujours en somme directe.
Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.

10.2 Polynôme caractéristique

Définition : un endomorphisme de E de dimension , A sa matrice dans une base quelconque, le polynôme caractéristique de est : $P_{f}(\lambda)=P_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I_{n})$ .

Théorème : Le polynôme caractéristique de est indépendant de la base choisie.
Les racines du polynôme caractéristique de sont les valeurs propres de .

Sur $\mathbb{C}$ , le polynôme caractéristique est toujours scindé.
Il y a donc toujours valeurs propres distinctes ou confondues.
Sur $\mathbb{R}$ , ça n'est pas toujours le cas... Le polynôme caractéristique peut avoir des racines complexes non réelles.

Théorème : $\lambda$ une valeur propre de , alors : $1\leqslant\dim(E_{\lambda })\leqslant$ ordre de multiplicité de $\lambda$ comme racine de $P_{f}$

10.3 Diagonalisibilité

Définition : Un endomorphisme est diagonalisable $\Leftrightarrow$ il existe une base de vecteurs propres

Théorème : (ou ...) diagonalisable $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} P_{A}(\lambda)\t... ...icit\'{e} de }\lambda\text{ dans }P_{A} \end{array} \right. \end{displaymath}$

En particulier, lorsque $P_{A}(\lambda)$ est scindé à racines simples, $\mathit{A}$ (ou ...) est diagonalisable. (condition suffisante non nécéssaire)

10.4 Diagonalisibilité et diagonalisation

Quand une matrice est diagonalisable, une erreur courante est de dire que, dans une certaine base, est diagonale, ce qui est bien sûr grossièrement faux et même stupide.
On a simplement une matrice de passage et une matrice diagonale telles que $A=PDP^{-1}$ ou bien $D=P^{-1}AP$ .

La confusion provient de ce que et sont les matrices d'un même endomorphisme dans deux bases différentes...
Il est par contre exact de dire que si un endomorphisme est diagonalisable, et s'il est de matrice dans la base $\mathcal{B}$ , il existe une base $\mathcal{B}'$ dans laquelle sa matrice est , diagonale.
étant la matrice de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ , on a alors : $A=PDP^{-1}$ et $D=P^{-1}AP$ .

10.5 Triangularisation

Théorème : Si le polynôme caractéristique est scindé, il existe une base où la matrice est triangulaire.

En particulier, sur $\mathbb{C}$ , toute matrice est triangularisable.

10.6 Puissances d'une matrice

Remarque : On fera attention, par convention : $B^{0}=I_n$ , la matrice identité.

Si est diagonalisable, et diagonale semblable à A, alors $A=PDP^{-1}$ et $A^{k}=PD^{k}P^{-1}$ .
Si , avec , ce qu'il faut impérativement vérifier, alors : $A^{p}=\displaystyle \sum_{k=0}^{p}\mathcal{C}_{p}^{k}B^{k}C^{p-k}$
Ceci est surtout utilisé lorsque $B^{2}$ ou $B^{3}$ est nulle, car alors la somme se réduit aux premiers termes.
Si $A^{2}=\alpha A+\beta I$ alors $A^{n}=\alpha_{n}A+\beta_{n}I$ et on peut chercher des relations de récurrence entre les coefficients en écrivant $A^{n+1}$ de deux façons : $A^{n+1}=A^n\times A$ .