Définition : linéaire, un couple est un couple valeur propre, vecteur propre de E
Définition : Pour une valeur propre de E, on appelle sous-espace propreassocié à, E
C'est clairement un sous-espace vectoriel de .
Remarque : Le noyau est donc aussi le sous-espace propre associé à la valeur propre 0.
Théorème : Les sous-espaces propres sont toujours en somme directe.
Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
Définition : un endomorphisme de E de dimension , A sa matrice dans une base quelconque, le polynôme caractéristique de est : .
Théorème : Le polynôme caractéristique de est indépendant de la base choisie.
Les racines du polynôme caractéristique de sont les valeurs propres de .
Sur , le polynôme caractéristique est toujours scindé.
Il y a donc toujours valeurs propres distinctes ou confondues.
Sur , ça n'est pas toujours le cas... Le polynôme caractéristique peut avoir des racines complexes non réelles.
Théorème : une valeur propre de , alors : ordre de multiplicité de comme racine de
Définition : Un endomorphisme est diagonalisable il existe une base de vecteurs propres
Théorème : (ou ...) diagonalisable
En particulier, lorsque est scindé à racines simples, (ou ...) est diagonalisable. (condition suffisante non nécéssaire)
Quand une matrice est diagonalisable, une erreur courante est de dire que, dans une certaine base, est diagonale, ce qui est bien sûr grossièrement faux et même stupide.
On a simplement une matrice de passage et une matrice diagonale telles que ou bien .
La confusion provient de ce que et sont les matrices d'un même endomorphisme dans deux bases différentes...
Il est par contre exact de dire que si un endomorphisme est diagonalisable, et s'il est de matrice dans la base , il existe une base dans laquelle sa matrice est , diagonale.
étant la matrice de passage de vers , on a alors : et .
Théorème : Si le polynôme caractéristique est scindé, il existe une base où la matrice est triangulaire.
En particulier, sur , toute matrice est triangularisable.
Remarque : On fera attention, par convention : , la matrice identité.