Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

10 Réduction des Endomorphismes

Sous-sections


10 Réduction des Endomorphismes


10.1 Valeurs propres et vecteurs propres

Définition :   $ f:E\rightarrow E$ linéaire, un couple $ \left( \lambda,u\right) $ $ (u\neq0)$ est un couple valeur propre, vecteur propre de E $ \Leftrightarrow f(u)=\lambda.u$

Définition :   Pour $ \lambda$ une valeur propre de E, on appelle sous-espace propreassocié à$ \lambda$,         E$ _{\lambda}=\{u$ $ /$$ f(u)=\lambda.u\}=\ker(f-\lambda Id_{E})$
C'est clairement un sous-espace vectoriel de $ E$.

Remarque :   Le noyau est donc aussi le sous-espace propre associé à la valeur propre 0.

Théorème :   Les sous-espaces propres sont toujours en somme directe.
Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.


10.2 Polynôme caractéristique

Définition :   $ f$ un endomorphisme de E de dimension $ n$, A sa matrice dans une base quelconque, le polynôme caractéristique de $ f$ est :    $ P_{f}(\lambda)=P_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I_{n})$.

Théorème :   Le polynôme caractéristique de $ f$ est indépendant de la base choisie.
Les racines du polynôme caractéristique de $ f$ sont les valeurs propres de $ f$.

Sur $ \mathbb{C}$, le polynôme caractéristique est toujours scindé.
Il y a donc toujours $ n$ valeurs propres distinctes ou confondues.
Sur $ \mathbb{R}$, ça n'est pas toujours le cas... Le polynôme caractéristique peut avoir des racines complexes non réelles.

Théorème :   $ \lambda$ une valeur propre de $ f$, alors : $ 1\leqslant\dim(E_{\lambda })\leqslant$ ordre de multiplicité de $ \lambda$ comme racine de $ P_{f}$

10.3 Diagonalisibilité

Définition :   Un endomorphisme est diagonalisable $ \Leftrightarrow$ il existe une base de vecteurs propres

Théorème :   $ A$ (ou $ f$...) diagonalisable \begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} P_{A}(\lambda)\t... ...icit\'{e} de }\lambda\text{ dans }P_{A} \end{array} \right. \end{displaymath}

En particulier, lorsque $ P_{A}(\lambda)$ est scindé à racines simples,$ \mathit{A}$ (ou $ f$...) est diagonalisable. (condition suffisante non nécéssaire)

10.4 Diagonalisibilité et diagonalisation

Quand une matrice $ A$ est diagonalisable, une erreur courante est de dire que, dans une certaine base, $ A$ est diagonale, ce qui est bien sûr grossièrement faux et même stupide.
On a simplement une matrice de passage $ P$ et une matrice diagonale $ D$ telles que     $ A=PDP^{-1}$     ou bien     $ D=P^{-1}AP$.


La confusion provient de ce que $ A$ et $ D$ sont les matrices d'un même endomorphisme dans deux bases différentes...
Il est par contre exact de dire que si un endomorphisme $ f$ est diagonalisable, et s'il est de matrice $ A$ dans la base $ \mathcal{B}$, il existe une base $ \mathcal{B}'$ dans laquelle sa matrice est $ D$, diagonale.
$ P$ étant la matrice de passage de $ \mathcal{B}$ vers $ \mathcal{B}'$, on a alors : $ A=PDP^{-1}$ et $ D=P^{-1}AP$.


10.5 Triangularisation

Théorème :   Si le polynôme caractéristique est scindé, il existe une base où la matrice est triangulaire.

En particulier, sur $ \mathbb{C}$, toute matrice est triangularisable.


10.6 Puissances d'une matrice

Remarque :   On fera attention, par convention : $ B^{0}=I_n$, la matrice identité.



© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing