Théorème : E un espace vectoriel. L'ensemble des isomorphismes de E, muni de la loi
de composition des applications est un groupe, appelé groupe linéaire de E et noté GL
.
Notation : Si ou
, le groupe linéaire de E se note GL
La loi est alors le produit des matrices.
Définition : Un endomorhisme de E un espace vectoriel réel, est dit orthogonal
conserve le produit scalaire
Théorème : est orthogonal
conserve la norme
Définition : Une matrice M est orthogonale M est la matrice d'un endomorphisme orthogonal dans une base orthonormale.
Théorème : M est orthogonale les vecteurs colonnes de M sont normés et orthogonaux 2 à 2
les vecteurs lignes de M sont normés et orthogonaux 2 à 2
Théorème : L'ensemble des endomorphismes orthogonaux de , muni de la loi
de composition des applications est un groupe noté
, sous groupe de
.
Notation : Si , le groupe orthogonal de E se note
La loi est alors le produit des matrices.