Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

12 Groupe Linéaire et Groupe Orthogonal

Sous-sections

12 Groupe Linéaire et Groupe Orthogonal


12.1 Groupe linéaire

Théorème :   E un $ \mathbb{K}$ espace vectoriel. L'ensemble des isomorphismes de E, muni de la loi $ \circ$ de composition des applications est un groupe, appelé groupe linéaire de E et noté GL$ (E)$.

Notation :   Si $ E=\mathbb{R}^{n}$ ou $ E=\mathbb{C}^{n}$, le groupe linéaire de E se note GL$ _{n}$
La loi est alors le produit des matrices.


12.2 Groupe orthogonal

Définition :   Un endomorhisme $ f$ de E un espace vectoriel réel, est dit orthogonal    
 $ \Leftrightarrow$ $ f$ conserve le produit scalaire    
 $ \Leftrightarrow$ $ \forall u,v\in E,\quad\left\langle f(u),f(v)\right\rangle =\left\langle u,v\right\rangle $

Théorème :   $ f$ est orthogonal
$ \Leftrightarrow f$ conserve la norme
$ \Leftrightarrow\forall u\in E,\quad \left\Vert f(u)\right\Vert =\left\Vert u\right\Vert $

Définition :   Une matrice M est orthogonale $ \Leftrightarrow$ M est la matrice d'un endomorphisme orthogonal dans une base orthonormale.

Théorème :   M est orthogonale $ \Leftrightarrow$ les vecteurs colonnes de M sont normés et orthogonaux 2 à 2    
 $ \Leftrightarrow$ les vecteurs lignes de M sont normés et orthogonaux 2 à 2    
 $ \Leftrightarrow M^{-1}=$ $ ^{t}\!M$    
 $ \Leftrightarrow M$ $ ^{t}\!M=I$    
 $ \Leftrightarrow \,^{t}\!M$ $ M=I$

Théorème :   L'ensemble des endomorphismes orthogonaux de $ E$, muni de la loi $ \circ$ de composition des applications est un groupe noté $ O(E)$, sous groupe de$ GL(E)$.

Notation :   Si $ E=\mathbb{R}^{n}$, le groupe orthogonal de E se note $ O(n)$
La loi est alors le produit des matrices.


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing