Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

13 Structure d'Algèbre

Sous-sections

13 Structure d'Algèbre

13.1 Algèbre

Une algèbre est un ensemble muni de trois lois.
Les deux premières lui confèrent la structure d'espace vectoriel.
La troisième loi est une loi de composition interne appelée produit.
Cette loi est associative, possède un élément neutre, et est distributive par rapport à l'addition.
Enfin, les deux « produits » sont « compatibles ».

13.2 Sous-algèbre

On montre le plus souvent qu'on a une sous-algèbre d'une algèbre connue plutôt que de montrer qu'on a une algèbre directement.

Théorème : $F\subset E$ est une sous-algèbre de $\begin{displaymath}E \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} 1\in F\\ \f... ... \forall u,v\in F,\quad u\times v\in F \end{array} \right. \end{displaymath}$

C'est à dire, contient l'identité, est stable par combinaison linéaire et par produit.

13.3 Algèbres usuelles

$\mathbb{R}\left[ X\right]$ et $\mathbb{C}\left[ X\right]$ sont des algèbres sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ .

$\mathcal{C}^{k}\left( A,\mathbb{R}\right)$ avec non vide et $k\in\mathbb{N\cup\{+\infty\}}$ est une algèbre sur $\mathbb{R}$ .

$\mathcal{L}\left( E\right)$ l'ensemble des applications linéaires de dans .
La loi de composition interne, c'est à dire le « produit », étant ici la composition « $\circ$ » des applications.

$\mathcal{M} _{n}\left( \mathbb{K}\right)$ l'ensembles des matrices carrées $n\times n$