Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

14 Suites

Sous-sections

14 Suites

14.1 Suites

Définition : $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $l\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\quad\exists p\in\mathbb{N},\quad\forall n\geqslant p,\quad\left\vert u_{n}-l\right\vert \leqslant\varepsilon$

Théorème : La limite , quand elle existe, est unique.

Remarque : Cette définition est valable pour une suite réelle ou complexe.
Dans le cas d'une suite vectorielle, il suffit de remplacer $\left\vert u_{n} -l\right\vert$ par $\left\vert u_{n} -l\right\vert$ .

Théorème : L'ensemble des suites muni de la somme de deux suites et de la multiplication par un scalaire a une structure d'espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ .
Il en est de même de l'ensemble des suites convergentes.

14.2 Sous-suites

Définition : $\left( v_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est une sous-suite de $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}\Leftrightarrow\exists\varphi :\mathbb{N\rightarrow N}$ strictement croissante telle que $\left( v_{n}\right) =\left( u_{\varphi\left( n\right) }\right)$

Théorème : $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $l\Rightarrow$ toute sous-suite de $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers
Si deux sous-suites ont des limites différentes ou si une sous-suite diverge, la suite diverge.

Théorème : Une suite convergente est bornée.

Théorème : Quand $\begin{displaymath}n\rightarrow+\infty,\quad\left. \begin{array}[c]{r} u_{n}\r... ... \lambda\, u_{n}\rightarrow\lambda\, l \end{array} \right. \end{displaymath}$

14.3 Suites vectorielles

Théorème : On a $u_{n}=\left( u_{1n},\, u_{2n},\ldots,\, u_{pn}\right)$ et $l=\left( l_{1},\, l_{2},\ldots,\, l_{p}\right)$ , alors $\begin{displaymath}u_{n}\rightarrow l\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{c}... ...}\\ \vdots\\ u_{pn}\rightarrow l_{p} \end{array} \right. \end{displaymath}$

14.4 Suites réelles ou complexes

Définition : Deux suites sont équivalentes $\Leftrightarrow u_{n}=v_{n}\, w_{n}$ avec $w_{n}\rightarrow 1$ .
En pratique, si à partir d'un certain rang $v_{n}\neq0$ , cela revient à $\dfrac{u_{n}}{v_{n}} \rightarrow1$ .

Théorème : La suite $(u_{n})$ converge $\Leftrightarrow$ La série $\displaystyle\sum(u_{n+1} -u_{n})$ converge

14.5 Suites réelles

Théorème : Toute suite croissante majorée converge.

Théorème : Toute suite décroissante minorée converge.

Théorème : (suites adjacentes) $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} (u_{n})\nearrow\\ (v_{n})\sear... ...n}-v_{n})\rightarrow0 \end{array} \right\} \Rightarrow(u_{n})\end{displaymath}$ et $(v_{n})$ convergent vers la même limite

14.6 Suites définies par une relation de récurrence

On a $u_{0}\in D_{f}$ , et $\forall n\in\mathbb{N},\quad u_{n+1}=f(u_{n})$ et si $u_{n}\in D_{f},\quad u_{n+1}\in D_{f}$ Il y a principalement deux méthodes distinctes.
La première est la plus pratique, souvent on y est un peu guidé par l'énoncé.
La seconde est plus fastidieuse...

14.6.1 Premier procédé

Il est basé sur l'inégalité des accroissements finis.
Si, sur un intervalle stable par , un point fixe, et $\left\vert f^{\prime }(x)\right\vert \leqslant k<1$ , on montre que $\left\vert u_{n+1}-l\right\vert \leqslant k\left\vert u_{n}-l\right\vert$ et donc par récurrence immédiate, que $\left\vert u_{n}-l\right\vert \leqslant k^{n}\left\vert u_{0}-l\right\vert$ ce qui assure la convergence.

14.6.2 Second procédé

On étudie les variations de , on résout ce sont les limites éventuelles de $\left( u_{n}\right)$ , les points fixes de.
On traite à part les suites où $u_{0}$ (ou $u_{1}\ldots)$ est fixe
On cherche des intervalles en se servant des points fixes de (et en les excluant) tels que
- continue et monotone sur
  $f(I)\subset I$
- $u_{0}$ ou $u_{1}$ ou $u_k \in I$
On a alors deux cas selon que est croissante ou décroissante sur
- Si est croissante sur Alors est monotone (croissante ou décroissante) et
  - converge vers le premier point fixe sur son chemin s'il y en a un,
  - diverge sinon.
- Si est décroissante sur Alors $\left( u_{2n}\right)$ et $\left( u_{2n+1}\right)$ sont monotones (croissante et décroissante respectivement) et convergent vers le premier point fixe de $f\circ f$ sur leur chemin s'il y en a un, divergent sinon. (il suffit de le faire pour une des deux seulement).
  Il suffit alors de regarder si ce point fixe est fixe de ou non.

2 racines distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$ $:u_{n}=\alpha r_{1}^{n}+\beta r_{2}^{n}$
1 racine double $:u_{n}=\alpha r^{n}+\beta nr^{n}$
sur $\mathbb{R}$ , 2 racines complexes $r=s\ e^{\pm i\omega}$ $:u_{n}=s^{n}\left( \alpha\cos n\omega+\beta\sin n\omega\right)$