Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

15 Fonctions $ \mathbb{R\rightarrow R}$

Sous-sections

15 Fonctions $ \mathbb{R\rightarrow R}$


15.1 Ensemble de définition

L'ensemble de définition de $ f$ est l'ensemble des valeurs de $ x$ telles qu'on puisse effectivement calculer $ f(x)$.
Pour cela, on regarde les dénominateurs, racines, quotients, logarithmes, tangentes...
Le problème est plus complexe pour une fonction définie par une intégrale $ \displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt$ ou $ \displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)\,dt$.
De plus, si l'intégrale est généralisée, il faut même chercher les$ x$ tels que l'intégrale converge...


15.2 Monotonie

Définition :   $ f$ est croissante sur $ I$ un intervalle $ \Leftrightarrow (a<b\Rightarrow f(a)\leqslant f(b))$$ f$ est strictement croissante sur $ I$ un intervalle $ \Leftrightarrow \left( a<b\Rightarrow f(a)<f(b\right) )$

Théorème :   $ f$ est dérivable sur $ I$, un intervalle,$ f$ est croissante sur $ I \Leftrightarrow f^{\prime }(x)\geqslant0$ sur $ I$

Théorème :   $ f$ dérivable sur $ I$, un intervalle,$ f^{\prime}(x)\geqslant 0$ sur $ I$ et $ f^{\prime}$ ne s'annule qu'en des points isolés,$ \Rightarrow f$ est strictement croissante sur $ I$.

Remarque :   Cette dernière implication n'est pas une équivalence...

Théorème :   Une fonction croissante, majorée sur $ \left[ a,b\right[ $, admet une limite finie en $ b$.

Théorème :   $ f$ continue, strictement monotone sur $ I$ un intervalle est une bijection de $ I$ sur $ f(I)$. De plus, $ f^{-1}$ est alors continue sur $ f(I)$.

15.3 Limite et continuité

Définition :   $ \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l\Leftrightarrow\forall\varepsilon >0,... ...rt \leqslant\alpha\Rightarrow\left\vert f(x)-l\right\vert \leqslant\varepsilon$ Si, de plus, $ l=f(a)$, on dit que f est continue en $ a$.
Si ceci est vrai pour tout point $ a$ d'un intervalle $ I$, on dit que $ f$ estcontinue sur $ I$.

Théorème :   Une somme, un produit, une combinaison linéaire, une composée, un quotient (quand ils sont définis...) de fonctions continues en un point ou sur un intervalle sont continues en ce point ou sur cet intervalle.

Théorème :   $ f\left( I\right) $ l'image d'un intervalle $ I$ par $ f$ continue sur $ I$ est un intervalle.

Théorème :   L'image d'un segment $ \left[ a,b\right] $ par $ f$ continue sur $ \left[ a,b\right] $ est un segment $ \left[ c,d\right] $.
Une application continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.


15.4 Limites usuelles

Les limites usuelles permettent de résoudre de nombreuses formes indéterminées.
On se reportera aussi, bien sûr, aux développements limités usuels ...

15.4.1 Limites en 0

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \qquad \displaystyle\l... ...c{\mathrm{e}^x-1}{x}=1 \qquad \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}x\, \ln x=0 $

15.4.2 Limites en $ +\infty $

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0 \qquad \displayst... ...infty \qquad \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}x \, \mathrm{e}^{-x}=0 $


15.4.3 Croissances comparées

Les limites suivantes sont connues sous le nom de théorème des croissances comparées.

Remarque :   On a ici $ \alpha$ et $ \beta$ strictement positifs.

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}x^{\alpha}\, \ln^{\beta} x=0 \qquad \displ... ...displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}x^{\alpha} \, \mathrm{e}^{-\beta x}=0 $

15.5 Equivalents

Définition :   On dit que :     $ f(t)\underset{t \rightarrow a}{\sim}g(t)\Leftrightarrow f(t)=g(t)(1+\varepsilon(t))$      avec $ \displaystyle\lim_{t \rightarrow a}\varepsilon(t)=0$

Remarque :   Les équivalents ne s'ajoutent pas.

Quand on veut trouver un équivalent, le mieux est de mettre « de force » l'équivalent pressenti en facteur et de montrer que l'autre facteur tend vers 1.
On revient ainsi, sans risque, à la définition.

© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing