Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

1 Groupes

Sous-sections

1 Groupes

1.1 Groupe

Définition : $\ast$ étant une loi de composition interne, c'est à dire : $\forall a,b\in G,\quad a\ast b\in G$
$\left( G,\ast\right)$ est un groupe $\Leftrightarrow$ $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \forall a,b,c\in G,\quad \left(... ...quad a\ast a^{\prime}=a^{\prime}\ast a=e \end{array} \right. \end{displaymath}$

Il s'agit de l'associativité, de l'existence d'un élément neutre, et de l'existence d'un symétrique pour tout élément.
Si, de plus la loi est commutative, le groupe est dit abélien ou commutatif.
Remarquons qu'un groupe est non vide... puisqu'il contient l'élément neutre.

1.2 Sous-groupe

Théorème : $H\subset G$ est un sous-groupe de $\left( G,\ast\right)$ $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} H\text{ est non ... ...all a,b\in H,\quad a\ast b^{\prime}\in H \end{array} \right. \end{displaymath}$

Remarque : En pratique, il est bien plus facile de montrer qu'on a un sous-groupe d'un groupe connu plutôt qu'un groupe.

1.3 Morphisme de groupe

Définition : $f:\left( F,\ast\right) \rightarrow\left( G,\circ\right)$ est unmorphisme de groupe $\Leftrightarrow\forall a,b\in F,\quad f(a\ast b)=f(a)\circ f(b)$