Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

18 Recherche de primitives

Sous-sections


18 Recherche de primitives


18.1 Fraction rationnelle en $ x$

On décompose la fraction rationnelle en éléments simples :

18.2 Fractions rationnelles diverses

Dans tous les cas, on indique un changement de variable pour $ u=\dots$ obtenir une fraction rationnelle en $ u$.


18.2.1 Fraction rationnelle en $ e^{x},\; \mathrm{ch}\, x,\;\mathrm{sh}\, x$

Poser $ u=e^{x}$.


18.2.2 Fraction rationnelle en $ x$ et $ \sqrt {ax+b}$

Poser $ u=\sqrt{ax+b}$.


18.2.3 Fraction rationnelle en $ \sin x$ et $ \cos x$

Règle de Bioche : on regarde si $ f(x)\,dx$ est invariant quand on change

en cas d'échec, poser $ u=\tan\dfrac{x}{2}$. Voir à ce propos le paragraphe 17.9.


18.3 Polynôme $ \times $ exponentielle

On peut :


18.4 Primitives usuelles

Voir le tableau ci-dessous des primitives usuelles.

Remarque :   Notons qu'une primitive n'a de sens que sur un intervalle. Si on change d'intervalle, il y a au moins la constante qui change, mais pas seulement.
En effet $ \ln (x)$ peut devoir être changé en $ \ln(-x)$ ...
C'est pourquoi, dans un premier temps, on écrira toujours un logarithme avec une valeur absolue.

Primitives simples

Fonction

Primitive

Remarques

$ x^{a}$

$ \dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C$

Sauf pour $ a=-1$, sur$ \mathbb{R}$, ou $ \mathbb{R}^{\ast}$, ou $ \mathbb{R}_{+}^{\ast}$ selon le cas

$ \dfrac{1}{x}$

$ \ln\left\vert x\right\vert +C$

Sur un intervalle de$ \mathbb{R}^{\ast}$

$ \dfrac{1}{x+a}$

$ \ln\left\vert x+a\right\vert +C$

Sur un intervalle privé de $ -a$

$ \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}$

$ \dfrac{1}{a}$ arctan$ \dfrac{x}{a}+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$ \arcsin x+C$

Sur un intervalle de $ \left] -1,1\right[ $. Ou bien $ -\arccos x+C'$

$ e^{x}$

$ e^{x}+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \cos x$

$ \sin x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \sin x$

$ -\cos x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \dfrac{1}{\cos^{2}x}$

$ \tan x+C$

Sur un intervalle de $ \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ +k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$

$ \tan x$

$ -\ln\left\vert \cos x\right\vert +C$

Sur un intervalle de $ \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[ +k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}$

$ \mathrm{ch}\, x$

$ \mathrm{sh}\,x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

$ \mathrm{sh}\,x$

$ \mathrm{ch}\,x+C$

Sur un intervalle de $ \mathbb{R}$

Utilisation de fonctions composées

Fonction

Primitive

Remarques

$ u'\,u^n$

$ \frac{1}{n+1}\, u^{n+1}$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$, $ n\neq-1$

$ \dfrac{u'}{u}$

$ \ln \vert u\vert$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$, $ u(x)\neq 0$

$ \dfrac{u'}{u^n}$

$ \frac{1}{1-n}\,\dfrac{1}{u^{n-1}}$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$, $ u(x)\neq 0$, $ n\neq1$

$ \dfrac{u'}{a^2+u^2}$

$ \dfrac{1}{a}\mathrm{arctan}\, \dfrac{u}{a}$

Sur un intervalle où $ u$ est de classe $ \mathcal{C}^1$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing