Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

19 Intégrale de Riemann (ou intégrale simple)

Sous-sections

19 Intégrale de Riemann (ou intégrale simple)

19.1 Primitive

Théorème : (Darboux) Une fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle.
Deux primitives diffèrent d'une constante.

Définition : $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)$ , avec une primitive de .

Remarque : Dans un repère orthonormal, l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,dt$ est aussi l'aire algébrique délimitée par la courbe et l'axe de la variable entre et .

Théorème : (Chasles) $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\displaystyle\int_{a}^{c}f(t)\,dt+\displaystyle\int_{c}^{b}f(t)\,dt$ , avec continue sur la réunion des intervalles.

Théorème : (Linéarité) $\displaystyle\int_{a}^{b}\lambda\, f(t)+\mu\, g(t)\,dt =\lambda\displaystyle\int_{a} ^{b}f(t)\,dt+\mu\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,dt$

19.2 Inégalités

Théorème : $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \forall t\in\left[ a,b\right] ,\... ...int_{a}^{b}f(t)\,d t\leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,d t\end{displaymath}$

Théorème : (Valeur absolue ou module) $a<b\Rightarrow\left\vert \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,d t\right\vert \leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(t)\right\vert dt$

Théorème : (Moyenne) $a<b\Rightarrow\left\vert \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,d t\right\vert \leqslant (b-a)\sup\limits_{t\in\left[ a,b\right] }\left\vert f(t)\right\vert$

Théorème : (Cauchy-Schwarz, cas réel) $a<b\Rightarrow\left( \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,d t\right) ^{2}\leqsl... ...laystyle\int_{a}^{b}f^{2}(t)\,d t \times\displaystyle\int_{a}^{b}g^{2}(t)\,d t$

Théorème : (Cauchy-Schwarz, cas complexe) $a<b\Rightarrow\left\vert \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)g(t)\,d t\right\vert ^{2... ...\right\vert dt\times\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert g^{2}(t)\right\vert dt$

19.3 Théorème des 3 conditions

Théorème : $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \forall t\in\left[ a,b\right] ,\... ...\right\} \Rightarrow\forall t\in\left[ a,b\right] ,\quad f(t)=0\end{displaymath}$

Remarque : On utilise souvent ce théorème quand on a un produit scalaire défini par une intégrale, pour montrer le caractère défini-positif de la forme quadratique.

19.4 Intégrale dépendant d'une borne

continue sur $\left[ a,b\right]$ , $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,d t$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left[ a,b\right]$ , et $F^{\prime}(x)=f(x)$
continue sur $\left[ a,b\right]$ , et de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left[ \alpha,\beta\right]$ , avec $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} u\left( \left[ \alpha,\beta\rig... ...\right] \right) \subset\left[ a,b\right] \end{array} \right. \end{displaymath}$ $\Rightarrow$ $F(x)=\displaystyle {\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}} f(t)\,d t$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left[ \alpha,\beta\right] ,\quad F^{\prime}(x)=f\left( v(x)\right) \times v^{\prime}(x)-f(u(x))\times u^{\prime}(x)$

Remarque : On ne confondra pas ce théorème avec les suivants...

19.5 Continuité et dérivation sous $\displaystyle\int\ldots$ pour une intégrale simple

Théorème : (Continuité) $\begin{displaymath}f:\left. \begin{array}[c]{ccl} I\times\left[ a,b\right] & \... ...\mathbb{R}\\ (x,t) & \mapsto & f(x,t) \end{array} \right\} \end{displaymath}$ avec continue sur $I\times\left[ a,b\right]$
$\Rightarrow$ définie par $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)\,d t$ est continue sur I

Théorème : (Classe $\mathcal{C}^{1}$ ) Si, de plus, admet une dérivée partielle $\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,t\right)$ , continue sur $I\times\left[ a,b\right]$ ,
$\Rightarrow$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur I, et, $F^{\prime }(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,d t$

19.6 Intégration par parties et changement de variable pour une intégrale simple

Intégration par parties : et de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left[ a,b\right]$ ,
$\displaystyle \displaystyle\int_{a}^{b}u(t)v^{\prime}(t)\,d t=\left[ \rule{0pt}{2.5ex} u(t)v(t)\right] _{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}u^{\prime}(t)v(t)\,d t$
Changement de variable : continue sur $\left[ a,b\right]$ , $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\left[ \alpha,\beta\right]$ , avec $\varphi\left( \left[ \alpha,\beta\right] \right) \subset\left[ a,b\right]$ , $\Rightarrow {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}} f\left( \varphi\left( t\rig... ...t= {\displaystyle\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}} f\left( u\right) du$

19.7 Calcul approché d'intégrales et sommes de Riemann

On va faire un calcul approché de la valeur d'une intégrale de sur $\left[ a,b\right]$ en divisant l'intervalle $\left[ a,b\right]$ en parties égales.
Les bornes de ces parties sont donc $a+k\dfrac{b-a}{n}$ pour $k\in\left\{ 0,1,\ldots,n\right\}$ .
Sur chacun de ces intervalles de largeur $\dfrac{b-a}{n}$ , $\left[ a+\left( k-1\right) \dfrac{b-a} {n},a+k\dfrac{b-a}{n}\right]$ , on approxime la fonction par la valeur à une de ses deux bornes. Ce qui donne :

Théorème : f continue sur $\left[ a,b\right]$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left( a+... ...\left( a+k\dfrac{b-a}{n}\right) =\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( t\right) dt$

Si de plus est monotone, une figure montre facilement que l'une des deux sommes est un majorant, l'autre un minorant de l'intégrale.
Enfin, quand $\left[ a,b\right] =\left[ 0,1\right]$ , on obtient des sommes particulières appelées sommes de Riemann :

Théorème : f continue sur $\left[ 0,1\right]$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( \dfrac... ...-1}f\left( \dfrac{k}{n}\right) =\displaystyle\int_{0}^{1}f\left( t\right) dt$