Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

20 Intégrale généralisée (ou intégrale impropre)

Sous-sections

20 Intégrale généralisée (ou intégrale impropre)

20.1 Convergence

Définition : est localement intégrable sur $I\Leftrightarrow f$ est continue par morceaux sur I

Définition : $f:\left[ a,b\right[ \rightarrow\mathbb{R}$ , continue sur $\left[ a,b\right[$ admet une intégrale généralisée en $\Leftrightarrow\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,d t$ a une limite finie quand $x\rightarrow b^{-}$

Remarque : On a la même définition sur $\left[ a,+\infty\right[$ , $\left] a,b\right]$ , ou $\left] -\infty,b\right]$ .
On écrira l'ensemble des théorèmes pour $\left[ a,b\right[$
Le lecteur adaptera les énoncés aux autres intervalles.
Cependant le théorème dit du « faux-problème » n'est pas applicable à l'infini.

Théorème : (convergence absolue) $\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(t)\right\vert dt$ converge $\Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,d t$ converge et $\left\vert \displaystyle\int_{a}^{b} f(t)\,d t\right\vert \leqslant\displaystyle\int_{a}^{b}\left\vert f(t)\right\vert dt$

Théorème : Si est de signe constant sur , alors : $\displaystyle\int_a^bf(t)dt,\quad \displaystyle\int_a^b-f(t)dt$ et $\displaystyle\int_a^b \left\vert f(t)\right\vert dt$ sont de même nature.
La convergence de l'intégrale équivaut à sa convergence absolue.

Théorème : (faux problème) continue sur $\left[ a,b\right[$ , admettant une limite finie en , c'est à dire qu'elle est prolongeable par continuité (en un point fini !),
alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,dt$ converge

20.2 Fonctions positives

Théorème : (Riemann) $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{lll} \displaystyle\int_{0}^{1}\dfr... ... converge} & \Leftrightarrow & \alpha>1 \end{array} \right. \end{displaymath}$

Théorème : (Comparaison) $\forall t\in\left[ a,b\right[ ,\quad0\leqslant f(t)\leqslant g(t)$ $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{c} \displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,... ...yle\int_{a}^{b}g(t)\,d t\text{ diverge} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Théorème : (Equivalence) $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} f(t)\underset{b^-}{\sim} g(t)\\ ... ...{array} \right\} \Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,d t\end{displaymath}$ et $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\,d t$ sont de même nature

20.3 Théorème des 3 conditions

Le théorème des 3 conditions est encore applicable pour les intégrales généralisée.

Théorème : $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \forall t\in\left[ a,b\right[ ,\... ...\right\} \Rightarrow\forall t\in\left[ a,b\right[ ,\quad f(t)=0\end{displaymath}$

Remarque : On utilise souvent ce théorème quand on a un produit scalaire défini par une intégrale, pour montrer le caractère défini-positif de la forme quadratique.

20.4 Intégration par parties et changement de variable pour une intégrale généralisée

20.4.1 Intégration par parties

$\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} u\text{ et }v\text{ de classe }\... ...ht\} \Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{b}u(t)v^{\prime}(t)\,d t\end{displaymath}$ et $\displaystyle\int_{a} ^{b}u^{\prime}(t)v(t)\,d t$ sont de même nature
et si elles convergent : $\displaystyle\int_{a}^{b}u(t)v^{\prime}(t)\,d t =\left[ \rule{0pt}{2.5ex} u(t)v(t)\right] _{a}^{b^{-}} -\displaystyle\int_{a}^{b}u^{\prime}(t)v(t)\,d t$

20.4.2 Changement de variable

$\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} f\text{ continue sur }I\\ \var... ...rphi\left( t\right) \right) \varphi^{\prime}\left( t\right) dt\end{displaymath}$ et ${\displaystyle\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}} f\left( u\right) du$ sont de même nature
et si elles convergent : $\displaystyle {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}} f\left( \varphi\left( t\r... ...le {\displaystyle\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}} f\left( u\right) du$

20.5 Un procédé de convergence

Si on a $\alpha<1$ tel que $\lim\limits_{t\rightarrow0}t^{\alpha}f(t)=0$ , alors $\left\vert f(t)\right\vert =o\left( \dfrac{1}{t^{\alpha}}\right)$ , et donc $\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,d t$ converge absolument donc converge.
Si on a $\alpha>1$ tel que $\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}t^{\alpha }f(t)=0$ , alors $\left\vert f(t)\right\vert =o\left( \dfrac{1}{t^{\alpha}}\right)$ , et donc $\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(t)\,d t$ converge absolument donc converge.

Remarque : Ceci n'est pas un théorème, il faut à chaque fois refaire la démonstration...

20.6 Continuité et dérivation sous $\displaystyle\int\ldots$ pour une intégrale généralisée

Théorème : (Continuité) $\begin{displaymath}f:\left. \begin{array}[c]{ccl} I\times\left[ a,b\right[ & \... ...\mathbb{R}\\ (x,t) & \mapsto & f(x,t) \end{array} \right\} \end{displaymath}$ avec continue sur $I\times\left[ a,b\right[$ ,
si $\exists\varphi$ telle que $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \forall x\in I,\quad\forall t\in... ...hi(t)\,d t\text{ converge} \end{array} \right\} \Rightarrow F\end{displaymath}$ définie par $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)\,d t$ est continue sur

Théorème : (Classe $\mathcal{C}^{1}$ ) Si, de plus, admet une dérivée partielle $\dfrac{\partial f}{\partial x}\left( x,t\right)$ , continue sur $I\times\left[ a,b\right[$ ,
et si $\exists\psi$ telle que $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \forall x\in I,\quad\forall t\in... ...si(t)\,d t\text{ converge} \end{array} \right\} \Rightarrow F\end{displaymath}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur , et, $F^{\prime }(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,d t$

Remarque : Il est important que $\varphi$ , et $\psi$ , ne dépendent pas de.
Ce sont des fonctions réelles positives dont les intégrales convergent.

20.7 Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction de la variable est l'ensemble des valeurs de pour lesquelles on peut effectivement calculer .
Ainsi, si on a :

$F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dt$ ou,

$F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f\left( x,t\right) dt$ ou encore,

$F:x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{x}f\left( t\right) dt$

L'ensemble de définition de est l'ensemble des valeurs de telles que :

l'intégrale est simple, ou bien,
l'intégrale est généralisée et convergente.