Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

21 Intégrales doubles et triples

Sous-sections

21 Intégrales doubles et triples

21.1 Description hiérarchique du domaine et intégrale

On ne peut calculer une intégrale multiple que si on a une description hiérarchique du domaine :

Pour une intégrale double : $\begin{displaymath}(x,y)\in\Delta\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} x\... ...\right] \\ y\in\left[ u(x),v(x)\right] \end{array} \right. \end{displaymath}$
$\includegraphics[]{Integrale-double}$
Pour une intégrale triple : $\begin{displaymath}(x,y,z)\in\Delta\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}[c]{l}... ...z\in\left[ \alpha(x,y),\beta(x,y)\right] \end{array} \right. \end{displaymath}$

$\includegraphics[]{Integrale-triple}$

Remarque : On peut avoir les variables dans un autre ordre, l'important est que les bornes de chacune ne soient définies qu'en fonction des précédentes.

On définit alors les intégrales doubles et triples comme des intégrales simples emboîtées :

${\displaystyle\iint_{\Delta}} f(x,y)\,d x\,d y= {\displaystyle\int_{a}^{b}} \left( {\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}} f(x,y)\,d y\right) dx$

${\displaystyle\iiint_{\Delta}} f(x,y,z)\,d x\,d y\,d z= {\displaystyle\int_{... ...displaystyle\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)}} f(x,y,z)\,d z\right) dy\right) dx$

21.2 Calcul d'Aires et de Volumes

On travaille ici dans un repère orthonormal.

Dans le plan, l'aire géométrique du domaîne $\Delta$ est : $\mathcal{A}={\displaystyle\iint_{\Delta}}d x\,d y$ ,
Dans l'espace, le volume géométrique du domaîne $\Delta$ est : $\mathcal{V}={\displaystyle\iiint_{\Delta}}d x\,d y\,d z$ .

21.3 Inclusion des domaines

Théorème : Si est continue et positive sur $\Delta$ , avec, de plus, $D \subset \Delta$ , alors

$\displaystyle \iint_Df(x,y)\,dx\,d y \leqslant \iint_{\Delta}f(x,y)\,dx\,d y$

On a la même chose pour une intégrale triple.

21.4 Changement de variables

21.4.1 Intégrale double

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=x(u,v)\\ y=y(u,v) \end{array} \right. \end{displaymath}$ bijective (ou presque...) $(x,y)\in D\Leftrightarrow(u,v)\in\Delta$ , et

$\displaystyle {\displaystyle\iint_{D}} f(x,y)\,dx\,dy= {\displaystyle\iint_{\Delta}} g(u,v)\left\vert \dfrac{D(x,y)}{D(u,v)}\right\vert du\,dv$

On notera la valeur absolue du jacobien et la pseudo-simplification.

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w) \end{array} \right. \end{displaymath}$ bijective (ou presque...) $(x,y,z)\in D\Leftrightarrow(u,v$ , $w)\in\Delta$ , et

$\displaystyle {\displaystyle\iiint_{D}} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz= {\displaystyle\... ...ta}} g(u,v,w)\left\vert \dfrac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}\right\vert \,du \,dv \,dw$

On notera la valeur absolue du jacobien et la pseudo-simplification.

21.4.3 Intégrale double en Polaires

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta \end{array} \right. \end{displaymath}$ $(x,y)\in D\Leftrightarrow(\rho,\theta)\in\Delta$ , et $f(x ,y)=g(\rho,\theta)$
La figure ci-dessous indique le mode de calcul.

$\includegraphics[]{Polaires}$

21.4.4 Intégrale triple en Cylindriques

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z \end{array} \right. \end{displaymath}$ $(x,y,z)\in D\Leftrightarrow(\rho,\theta,z)\in\Delta$ , et $f(x,y,z)=g(\rho,\theta,z)$
La figure ci-dessous indique le mode de calcul.

$\includegraphics[]{Cylindriques}$

21.4.5 Intégrale triple en Sphériques

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=\rho\cos\theta\cos\varphi\\... ...\sin\theta\cos\varphi\\ z=z\sin\varphi \end{array} \right. \end{displaymath}$ $(x,y,z)\in D\Leftrightarrow(\rho,\theta,\varphi)\in\Delta$ , et $f(x,y,z)=g(\rho,\theta,\varphi)$
La figure ci-dessous indique le mode de calcul.

$\includegraphics[]{Spheriques}$

Remarque : Il s'agit de la convention des mathématiciens : les physiciens utilisent un autre angle.
En mathématiques, en général, $\varphi \in\left[ -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ . Les physiciens utilisent l'angle entre et qui appartient donc à $\left[ 0,\pi\right]$ .
Dans la formule, au niveau de la valeur absolue du jacobien, ils échangent ainsi $\sin\varphi$ et $\cos\varphi$ .
En plus, parfois, ils changent le nom des angles...

Remarque : On fait un changement de variable

pour simplifier le domaine, ce qui est nouveau,
ou pour simplifier le calcul des primitives emboîtées.