Définition : converge la suite des sommes partielles (s avec s converge.
Théorème : converge converge.
Remarque : (règle ) Si on a tel que , alors et donc converge absolument et donc converge.
Ceci n'est pas un théorème et est donc à réargumenter à chaque fois...
Théorème : La série de terme général converge . De plus, la somme est :
Définition : Une suite géométrique est une suite vérifiant : . est la raison de la suite.
Remarque : La somme d'une série géométrique convergente est donc : .
Ceci prolonge et généralise la somme des termes d'une suite géométrique qui est :
Quand la série converge, il n'y pas de termes manquants...
Théorème : (Riemann)
Théorème : (Comparaison) converge.
Corollaire : diverge.
Théorème : (Equivalence) et sont de même nature.
Théorème : (d'Alembert) à terme strictement positifs, telle que
Remarque : On tombe très souvent sur le cas douteux !
On utilise souvent le théorème de d'Alembert dans le cadre des séries entières, ou lorsqu'on a, dans l'expression de , des factorielles, des termes de nature géométrique ou des exponentielles.
Définition : est une série alternée est de signe constant.
Théorème : une série alternée converge.
De plus, , où , enfin, est du signe de est du digne de
Voir la figure ci-dessous.
Théorème : une fonction positive et décroissante définie sur et sont de même nature.
Et si elles convergent :
La figure ci-dessous donne les inégalités de base !
Il ne faut pas hésiter à la refaire pour retouver ces inégalités.
Théorème : La suite converge La série converge
Remarque : Cela sert parfois à montrer la convergence de quelques ... suites, en montrant la convergence ou la convergence absolue de la série des différences.
On dispose principalement de trois techniques