Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Définition : Une série entière est une série de la forme $\displaystyle\sum a_{n}z^{n}$ ou $\displaystyle\sum a_{n}x^{n}$ , selon que l'on travaille sur $\mathbb{C}$ ou sur $\mathbb{R}$

23.1 Rayon de convergence

23.2 Convergence

Théorème : Quand la variable est réelle, la série entière se dérive et s'intègre terme à terme sur $\left] -R,R\right[$ au moins.
Elle s'intègre même terme à terme au moins sur sur l'intervalle de convergence

Théorème : La série entière, sa série dérivée et ses séries primitives ont le même rayon de convergence.

Théorème : La somme d'une série entière est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\left] -R,R\right[$ , et continue sur son ensemble de définition.

23.3 Somme de deux séries entières

Théorème : $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{l} \displaystyle\sum a_{n}z^{n}\tex... ...t\} \Rightarrow\displaystyle\sum\left( a_{n}+b_{n}\right) z^{n}\end{displaymath}$ est de rayon $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \inf(R_{1},R_{2})\text{ pour }R... ...R\geqslant R_{1}\text{ pour }R_{1}=R_{2} \end{array} \right. \end{displaymath}$

23.4 Développement d'une fonction en série entière

Définition : Une fonction

est développable en série entière en 0 $\Leftrightarrow$ il existe une série entière et un intervalle

tels que $\forall x\in I,\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}$

Théorème : Si

est développable en série entière en 0 alors la série entière est la série de Taylor et : $a_{n}=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$

En général

est l'intersection de l'ensemble de définition de

et de l'ensemble de convergence de $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}x^{n}$ , mais cela n'est pas une obligation...
Pour développer une fonction en série entière, on peut :

Dans tous les cas, il faudra avec soin justifier la convergence de la série entière et son égalité avec la fonction.
Cela peut être délicat dans le cas de la série de Taylor... qu'on n'utilisera qu'à la demande de l'énoncé.

23.5 Séries entières usuelles

$\mathbf{f}$	D $_{f}$	DSE
$e^{x}$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left( -1\right) ^{n}\dfrac{x^{2n}}{\left( 2n\right) !}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left( -1\right) ^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{\left( 2n+1\right) !}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$\mathrm{ch}\, x$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{\left( 2n\right) !}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$\mathrm{sh}\,x$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{\left( 2n+1\right) !}$	$+\infty$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{1+x}$	$\mathbb{R}\setminus\{-1\}$	$\displaystyle\sum _{n=0}^{\infty}\left( -1\right) ^{n}x^{n}$		$\left] -1,1\right[$
$\ln(1+x)$	$\left] -1,+\infty\right[$	$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n}$		$\left] -1,1\right]$
$\dfrac{1}{1-x}$	$\mathbb{R}\setminus\{1\}$	$\displaystyle\sum _{n=0}^{\infty}x^{n}$		$\left] -1,1\right[$
$\ln(1-x)$	$\left] -\infty,1\right[$	$\displaystyle-\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{x^{n}}{n}$		$\left[ -1,1\right[$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left( -1\right) ^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{\left( 2n+1\right) }$		$\left[ -1,1\right]$
$(1+x)^{a}$	$\left] -1,+\infty\right[$	$1+\displaystyle\sum _{n=1}^{\infty}\dfrac{a(a-1)\ldots(a-n+1)}{n!}x^{n}$	ou $+\infty$ $\left( a\in\mathbb{N}\right)$

La série géométrique et l'exponentielle sont aussi valables pour une variable complexe.