Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

24 Séries de Fourier

Sous-sections


24 Séries de Fourier

24.1 Série de Fourier et coefficients de Fourier de $ f$

Définition :   $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{K}$, T-périodique, continue par morceaux sur $ \mathbb{R}$, on appelle série de Fourier de $ f$, la série :     $ S(f)(t)=a_{0}+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t\right), \quad$ avec :    $ \omega=\dfrac{2\pi}{T}$
On a $ a_{0}=\dfrac{1}{T} {\displaystyle\int\nolimits_{-T/2}^{T/2}} f(t)\,d t,\quad$et pour \begin{displaymath}n\geqslant 1, \quad\left\{ \begin{array}[c]{l} a_{n}=\dfrac... ...ha}^{\alpha+T}} f(t)\sin n\omega t\,d t \end{array} \right. \end{displaymath}

Remarque :   $ a_{0}$ est la valeur moyenne de $ f$.
Dans le cas où $ f$ est paire ou impaire, on peut travailler sur une demi-période bien choisie.
C'est à dire que, le plus souvent, les intégrales sont calculées entre 0 et $ \frac{T}{2}$.
D'autre part, souvent, on ne dispose d'une formule explicite pour $ f(t)$ que sur un certain intervalle.
On veillera avec soin à ne pas utiliser cette formule en dehors de cet intervalle !

Si cela est plus facile, on peut calculer :

$\displaystyle c_{0}=a_{0}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(t)... ...{-in\omega t}\,d t=\dfrac{a_{n}-ib_{n}}{2}\text{ pour }n\in\mathbb{N}^{\ast} $

Si la fonction est réelle, les $ a_n$ et $ b_n$ sont réels et on les obtient par un seul calcul ...


24.2 Cas où $ f$ est $ 2\pi $-périodique

Dans le cas où $ f$ est $ 2\pi $-périodique,    $ S(f)(t)=a_{0} +\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt\right) $    
 $ a_{0}=\dfrac{1}{2\pi} {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f(t)\,d t,\quad$et pour \begin{displaymath}n\geqslant 1,\quad\left\{ \begin{array}[c]{l} a_{n}=\dfrac{... ...\alpha}^{\alpha+2\pi}} f(t)\sin nt\,d t \end{array} \right. \end{displaymath}

Dans les séries de Fourier, assez souvent, on n'a de formule pour $ f$ que dans un certain intervalle, on veillera donc, comme on l'a déjà dit, à n'utiliser cette formule que sur cet intervalle...

24.3 Convergence

Théorème :   (Dirichlet, cas général) $ f$ de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \mathbb{R}$, T-périodique     
$ \Rightarrow$ la série de Fourier de $ f$ converge en tous points, et sa somme est :    $ S(f)(t)=\dfrac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$
où $ f(t+0)$ et $ f(t-0)$ sont les limites à droite et à gauche de $ f$ en $ t$.

Remarque :   En tous points où $ f$ est continue, on a donc bien :    $ S(f)(t)=f(t)$.
Il n'y a qu'aux points où $ f$ est discontinue qu'il risque d'y avoir un problème.
On fera donc un graphe de la fonction sur un peu plus d'une période pour repérer les points de discontinuité et vérifier le caractère$ \mathcal{C}^{1}$par morceaux sur $ \mathbb{R}$.

Théorème : (Dirichlet, cas continu)   $ f$ continue et de classe $ \mathcal{C}^{1}$ par morceaux sur $ \mathbb{R}$, T-périodique    
 $ \Rightarrow$ la série de Fourier de $ f$ converge en tous points, et :     $ S(f)(t)=f(t)$.
De plus, les séries $ \displaystyle\sum\left\vert a_{n}\right\vert $ et $ \displaystyle\sum\left\vert b_{n}\right\vert $ convergent.

Théorème :   Sur un intervalle $ \left[ \alpha,\beta\right] $ où $ f$ est continue$ ,\quad\displaystyle {\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}} f(t)\,d t$ peut se calculer en intégrant terme à terme la série de Fourier de $ f$.

Théorème : (Unicité du développement en série de Fourier)   Si $ f$ est continue sur $ \mathbb{R}$ et s'écrit comme la somme d'une série trigonométrique, on a :

$\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}\cos n\omega t+b_{n}\sin n\omega t\right) $

Alors, cette série est la série de Fourier de $ f$.


24.4 Produit scalaire et formule de Parseval

Théorème :   $ \mathcal{C}_{T}(\mathbb{R})$, l'ensemble des applications continues, T-périodiques, $ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ est un espace vectoriel réel.
De plus$ \quad\left\langle f,g\right\rangle =\dfrac{1}{T}\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2} f(t)g(t)\,d t\quad$est un produit scalaire de $ \mathcal{C}_{T}(\mathbb{R})$.
La famille    $ \left\{ \left( \cos n\omega t\right) _{n\in\mathbb{N}}, \left( \sin n\omega t\right) _{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\right\}$     est orthogonale pour ce produit scalaire.

Remarque :   Si les applications sont simplement continues par morceaux ,$ \quad\left\langle f,g\right\rangle =\dfrac{1}{T}\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2} f(t)g(t)\,d t\quad$ est une forme bilinéaire symétrique positive.

Théorème : (Formule de Parseval)   $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{K}$, T-périodique,continue par morceaux sur $ \mathbb{R}$, alors :

$\displaystyle \dfrac{1}{T}\displaystyle {\displaystyle\int_{-T/2}^{T/2}} \lef... ...eft( \left\vert a_{n}^{2}\right\vert +\left\vert b_{n}^{2}\right\vert \right) $

Si la fonction est réelle :

$\displaystyle \dfrac{1}{T}\displaystyle {\displaystyle\int_{-T/2}^{T/2}} f^{2... ...dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $

Si, de plus, $ f$ est 2$ \pi$-périodique :

$\displaystyle \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle {\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}} f... ...dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left( a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing