Définition : , T-périodique, continue par morceaux sur
, on appelle série de Fourier de
, la série :
avec :
On a et pour
Remarque : est la valeur moyenne de
.
Dans le cas où est paire ou impaire, on peut travailler sur une demi-période bien choisie.
C'est à dire que, le plus souvent, les intégrales sont calculées entre 0 et .
D'autre part, souvent, on ne dispose d'une formule explicite pour que sur un certain intervalle.
On veillera avec soin à ne pas utiliser cette formule en dehors de cet intervalle !
Si cela est plus facile, on peut calculer :
Si la fonction est réelle, les et
sont réels et on les obtient par un seul calcul ...
Dans le cas où est
-périodique,
et pour
Dans les séries de Fourier, assez souvent, on n'a de formule pour que dans un certain intervalle, on veillera donc, comme on l'a déjà dit, à n'utiliser cette formule que sur cet intervalle...
Théorème : (Dirichlet, cas général) de classe
par morceaux sur
, T-périodique
la série de Fourier de
converge en tous points, et sa somme est :
où et
sont les limites à droite et à gauche de
en
.
Remarque : En tous points où est continue, on a donc bien :
.
Il n'y a qu'aux points où est discontinue qu'il risque d'y avoir un problème.
On fera donc un graphe de la fonction sur un peu plus d'une période pour repérer les points de discontinuité et vérifier le caractèrepar morceaux sur
.
Théorème : (Dirichlet, cas continu) continue et de classe
par morceaux sur
, T-périodique
la série de Fourier de
converge en tous points, et :
.
De plus, les séries et
convergent.
Théorème : Sur un intervalle où
est continue
peut se calculer en intégrant terme à terme la série de Fourier de
.
Théorème : (Unicité du développement en série de Fourier) Si est continue sur
et s'écrit comme la somme d'une série trigonométrique, on a :
Alors, cette série est la série de Fourier de .
Théorème : , l'ensemble des applications continues, T-périodiques,
est un espace vectoriel réel.
De plusest un produit scalaire de
.
La famille est orthogonale pour ce produit scalaire.
Remarque : Si les applications sont simplement continues par morceaux , est une forme bilinéaire symétrique positive.
Théorème : (Formule de Parseval) , T-périodique,continue par morceaux sur
, alors :
Si la fonction est réelle :
Si, de plus, est 2
-périodique :