On peut toujours considérer que ce sont fonctions (ou suites) « coordonnées » ou « composantes » à valeur dans ou, ou même dans le deuxième cas, fonctions (ou suites) « coordonnées » ou « composantes » à valeur dans .
Les notions de limite, de continuité, de dérivabilité (...) se ramènent aux propriétés équivalentes sur chacune des composantes.
Définition : La matrice jacobienne de est, avec ici et
C'est la matrice dans la base canonique de la différentielle de au point considéré.
Théorème : de classe et :
Définition : La matrice jacobienne de en un point est alors carrée d'ordre .
Le jacobien de en ce point est le déterminant de la matrice jacobienne.
Théorème : En un point où le jacobien de est non nul, définit localement une bijection et le jacobien de est l'inverse du jacobien de .
Remarque : Les ne se pseudo-simplifient pas! Ainsi ne vaut pas en général et n'est pas
© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing