Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

27 Fonctions (ou suites) à valeur dans $ \mathbb{R}^{n}$ ou $ \mathbb{C}^{n}$

Sous-sections

27 Fonctions (ou suites) à valeur dans $ \mathbb{R}^{n}$ ou$ \mathbb{C}^{n}$

27.1 Limite et continuité

On peut toujours considérer que ce sont $ n$ fonctions (ou suites) « coordonnées » ou « composantes » à valeur dans $ \mathbb{R}$ ou$ \mathbb{C}$, ou même dans le deuxième cas, $ 2n$ fonctions (ou suites) « coordonnées » ou « composantes » à valeur dans $ \mathbb{R}$.
Les notions de limite, de continuité, de dérivabilité (...) se ramènent aux propriétés équivalentes sur chacune des composantes.

27.2 Fonction $ \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{p}$, classe$ \mathcal{C}^{1}$

Définition :   La matrice jacobienne de $ f$ est, avec ici $ n=3$ et \begin{displaymath}p=2 :\quad\left( \begin{array}[c]{ccc} \dfrac{\partial f_{1... ...ac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}} \end{array} \right) =J_{f}\end{displaymath}
C'est la matrice dans la base canonique de la différentielle de $ f$ au point considéré.

Théorème :   \begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} f\quad\mathbb{R}^{n}\rightarrow\... ...mathcal{C}^{1} \end{array} \right\} \Rightarrow g\circ f\quad\end{displaymath}de classe $ \mathcal{C}^{1}$ et :    $ J_{g\circ f}=J_{g}\times J_{f}$

27.3 Fonction $ \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, classe$ \mathcal{C}^{1}$

Définition :   La matrice jacobienne de $ f$ en un point est alors carrée d'ordre $ n$.
Le jacobien de $ f$ en ce point est le déterminant de la matrice jacobienne.

Théorème :   En un point où le jacobien de $ f$ est non nul, $ f$ définit localement une bijection et le jacobien de $ f^{-1}$ est l'inverse du jacobien de $ f$.

Remarque :   Les $ \partial$ ne se pseudo-simplifient pas! Ainsi    $ \dfrac{\partial z}{\partial y}\times\dfrac{\partial y}{\partial x}$     ne vaut pas en général     $ \dfrac{\partial z}{\partial x}$      et     $ \dfrac{1}{\tfrac{\partial y}{\partial x}}$     n'est pas     $ \dfrac{\partial x}{\partial y}$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing