Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

2 Formule du Binôme

Sous-sections

2 Formule du Binôme


2.1 Coefficients binomiaux

Définition :   $ C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dbinom{n}{k}$

$ C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}\qquad C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1\qquad C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1}=n\qquad C_{n}^{2}=C_{n}^{n-2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

On notera bien que la notation $ C_{n}^{k}$ est de plus en plus remplacée par la notation : $ \dbinom{n}{k}$. Remarquons l'inversion de $ n$ et $ k$.


2.2 Formule du Binôme et autres

Théorème :   $ \forall a,b\in\mathbb{K}$,    $ \forall n\in\mathbb{N}$,    $ \left( a+b\right) ^{n}= \displaystyle \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}\, a^{k}\, b^{n-k}$

Théorème :   $ \forall a,b\in\mathbb{K}$,    $ \forall n\in\mathbb{N}$,    $ a^{n}-b^{n}=\left( a-b\right) \left( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a^{n-k}\, b^{k-1}\right) $

Théorème :   $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}$


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing