Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Deuxième Partie : Analyse

28 Equations et systèmes différentiels

Sous-sections

28 Equations et systèmes différentiels

Notons d'abord qu'on résout une équation ou un système différentiels sur un intervalle.

28.1 Généralités

28.1.1 Recollement de solutions

Pour recoller en les solutions sur deux intervalles, sur $\left] a,c\right[$ et sur $\left] c,b\right[ \$ il faut chercher à égaler :

les limites (finies) de et en
les limites (finies) de $f^{\prime}$ et $g^{\prime}$ en
et éventuellement les limites (finies) de $f^{\prime\prime}$ et $g^{\prime\prime}$ en pour une équation différentielle du second ordre.

28.1.2 Equation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire

du premier ordre est de la forme $a\left( t\right) y^{\prime }+b\left( t\right) y=g(t)$
du second ordre est de la forme $a\left( t\right) y^{\prime\prime }+b\left( t\right) y^{\prime}+c\left( t\right) y =g(t)$

est appelé le second membre. Les équation homogènes associées sont respectivement :

$a\left( t\right) y^{\prime }+b\left( t\right) y=0$

$a\left( t\right) y^{\prime\prime }+b\left( t\right) y^{\prime}+c\left( t\right) y =0$

Pour une équation différentielle linéaire, la solution générale est toujours la somme de la solution générale de l'équation sans second membre, appelée aussi équation homogène associée, et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
D'où l'importance de connaître une telle solution particulière.

Remarque : On ne tient compte des conditions initiales que lorsqu'on a obtenu la solution générale de l'équation (ou du système)avec second membre.

Sur un intervalle convenable, la solution générale de l'équation sans second membre est un espace vectoriel de dimension 1 pour une équation différentielle linéaire du premier ordre et 2 pour une équation différentielle linéaire du second ordre.

28.1.3 Courbe intégrale

Si est solution d'une certaine équation différentielle, la courbe est dite courbe intégrale de cette équation différentielle.

28.2 Equation Différentielle Non Linéaire du premier ordre

Remarque : On ne dispose d'aucun théorème sur les équations différentielles non linéaires ...

En général, elle est à variables séparables, $f(t)\,dt=g(y)\,dy\Rightarrow\displaystyle\int f(t)\,d t=\displaystyle\int g(y)\,d y+K$
C'est le seul cas que l'on doit savoir traiter.
Sinon, il faut se laisser guider par l'énoncé !

28.3 Equation Différentielle Linéaire du premier ordre

Sans second membre $a(t)y^{\prime}+b(t)y=0\Rightarrow y(t)=Ke^{-\displaystyle\int\tfrac{b(t)}{a(t)}\,d t}\quad$ sur un intervalle où et sont continues et où ne s'annule pas. étant un réel arbitraire.
Avec second membre $a(t)y^{\prime}+b(t)y=c(t)\quad$ sur un intervalle où $a,\, b$ et sont continues et où ne s'annule pas.
Il ne nous manque qu'une solution particulière : toute solution particulière est bonne à prendre !
On peut, faute de mieux, chercher une solution particulière par la variation de la constante : où $y(t)=e^{-\displaystyle\int\tfrac{b(t)}{a(t)}\,dt}$
On reste en calcul formel le plus longtemps possible : les termes en disparaissent.

Remarque : La variation de la constante n'est pas un procédé miraculeux !
Elle peut donner des calculs longs et difficiles.
On la réserve donc au cas où on n'a pas d'autre procédé pour obtenir une telle solution particulière.

28.4 Equation Différentielle Linéaire du second ordre à coefficients constants

Sans second membre on résout l'équation caractéristique
Si on a :
- Deux racines distinctes, la solution est : $y(t)=\lambda e^{r_{1}t}+\mu e^{r_{2}t}$
- Une racine double : $y(t)=(\lambda t+\mu)e^{rt}$
- Deux racines complexes : $r=\alpha\pm i\beta\quad$ et dans le cas où on cherche les solutions sur $\mathbb{R}$ : $y(t)=(\lambda\cos\beta t+\mu\sin\beta t)e^{\alpha t}=(k\cos\beta (t-t_{0}))e^{\alpha t}$
Avec second membre , où est un polynôme.
On cherche une solution particulière de la forme :
avec un polynôme arbitraire de même degré que .

28.5 Equation Différentielle Linéaire du second ordre

Sans second membre $a(t)y^{\prime\prime}+b(t)y^{\prime }+c(t)y=0\quad$ sur un intervalle où et sont continues et où ne s'annule pas, il faut se laisser guider par l'énoncé pour trouver une première solution.
Si sont des polynômes, on peut chercher une solution polynomiale en cherchant d'abord une condition nécessaire sur le degré.
Avec ou sans second membre, en ayant une solution de l'équation sans second membre, on peut chercher les solutions de la forme $z(t)=K(t)y(t)\quad$ (Variation de la constante, à réserver au cas où on n'a pas d'autre procédé).
On obtient une équation différentielle linéaire du premier ordre en $K^{\prime }(t)$ avec ou sans second membre selon les cas.
En pratique, on mène le calcul de façon théorique le plus longtemps possible.
On ne cherche une solution sous forme de série entière qu'à la demande de l'énoncé.

28.6 Système Différentiel Linéaire du premier ordre

On ne traite que les systèmes à coefficients constants $X^{\prime}(t)=AX(t)\quad$ où est une matrice carrée d'ordre et $\begin{displaymath}X(t)=\left( \begin{array}[c]{c} x_{1}(t)\\ x_{2}(t)\\ \vdots\\ x_{n}(t) \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ ou $X^{\prime}(t)=AX(t)+B(t)$ , où est un vecteur second membre.

28.6.1 Cas sans second membre

Dans le cas où est diagonalisable, on note $(\lambda _{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n})$ les valeurs propres et $(U_{1} ,U_{2},\ldots,U_{n})$ une base de vecteurs propres associés. Alors
$\displaystyle X(t)=\alpha_{1}e^{\lambda_{1}t}U_{1}+\alpha_{2}e^{\lambda_{2}t}U_{2} +\cdots+\alpha_{n}e^{\lambda_{n}t}U_{n}$
Dans le cas où est diagonalisable sur mais pas sur sur lequel on cherche les solutions, pour chaque couple de valeurs proprs non réelles, on peut directement remplacer
- $\beta$ $\mathfrak{\operatorname{Re}}\left( e^{\lambda t}U\right) +\gamma$ $\mathfrak{\operatorname{Im}}\left( e^{\lambda t}U\right) \quad$ avec $\beta$ et $\gamma$ réels
Dans le cas où est triangularisable, non diagonalisable, on considère de passage telle que avec triangulaire supérieure.
- On pose $\quad X(t)=PY(t)\quad$ on obtient $X^{\prime}(t)=PY^{\prime }(t)\quad$ car est constant.
- On reporte dans le système différentiel et on obtient $Y^{\prime}(t)=TY(t)$ .
- On résout ce système en résolvant la dernière équation et en remontant équation par équation.
- Enfin, $X(t)=PY(t)\quad$ fournit le résultat.

28.6.2 Cas avec second membre

Dans tous les cas, il faut considérer une matrice de passage avec $D=P^{-1}AP$ ou $T=P^{-1}AP$ selon la diagonalisibilité ou pas.
On obtient

$Y^{\prime}(t)=DY(t)+P^{-1}B(t)\quad$ ou

$Y^{\prime}(t)=TY(t)+P^{-1}B(t)\quad$ selon les cas.

On résout équation par équation le système obtenu.

28.7 Système autonome de 2 équations différentielles

$\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{l} \dfrac{\,dx}{\,dt}=\varphi(x,y)\\ \dfrac{\,dy}{\,dt}=\psi(x,y) \end{array} \right\} \end{displaymath}$ avec $\varphi$ et $\psi$ continues sur $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ , est un système autonome de deux équations différentielles.

On peut essayer de l'intégrer en passant en complexes, , en polaires ou en suivant les indications de l'énoncé.
On peut aussi le transformer en équation différentielle plus classique $\dfrac{\,dy}{\,dx}=\dfrac{\psi(x,y)}{\varphi(x,y)}$
Réciproquement, une équation différentielle $\dfrac{\,dy}{\,dx}=\dfrac{\psi(x,y)}{\varphi(x,y)}$ peut se transformer en système autonome en « ajoutant » du temps « »... à condition, bien sûr, que ce système autonome soit facile à intégrer!