Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Troisième Partie : Géométrie

30 Isométries

Sous-sections

30 Isométries

Théorème : Un endomorphisme est une isométrie vectorielle si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est orthogonale.

Les matrices orthogonales sont page .

Théorème : Une application affine est une isométrie affine si et seulement si l'application linéaire associée est une isométrie vectorielle.

30.1 Symétries orthogonales

Théorème : Une isométrie vectorielle est une symétrie orthogonale $\Leftrightarrow$ Sa matrice dans une base orthonormale est symétrique.

La transformation est alors la symétrie orthogonale par rapport à l'ensemble des vecteurs invariants.
On retrouve ces cas dans les paragraphes suivants.

Théorème : Une isométrie affine est une symétrie orthogonale $\Leftrightarrow$ l'isométrie vectorielle associée est une isométrie vectorielle et il y a des points fixes.

La transformation est alors la symétrie orthogonale par rapport à l'ensemble des points fixes.

Remarque : Dans le cas d'une symétrie orthogonale dans le plan ou l'espace affine, la matrice de l'isométrie vectorielle associée est encore orthogonale, mais on observera que ça n'est plus une condition suffisante. Il est nécessaire d'avoir des points fixes pour avoir une symétrie affine.

30.2 Recherche d'une symétrie orthogonale d'éléments géométriques donnés

30.2.1 Isométrie vectorielle

On cherche les expressions de la symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle $\Delta$ ou à un plan vectoriel $\Pi$ .
On écrit que $\dfrac{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}'}{2}\in\Delta$ ou $\Pi$ et que $\overrightarrow{u}'-\overrightarrow{u}$ appartient à l'orthogonal de $\Delta$ ou $\Pi$ .

30.2.2 Isométrie affine

On cherche les expressions de la symétrie orthogonale par rapport à la droite ou au plan .
On écrit que le milieu du segment appartient à ou à et que $\overrightarrow{MM'}$ appartient à l'orthogonal de la direction de ou .

30.3 Identification des Isométries Vectorielles

30.3.1 symétries orthogonales

Si la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormale est symétrique, l'isométrie vectorielle est une symétrie orthogonale.
C'est la symétrie orthogonale par rapport à l'ensemble des vecteurs invariants.

30.3.2 Isométries vectorielles du plan

Dans une base orthonormale, la matrice est orthogonale.

Isométrie directe : le déterminant vaut 1. C'est une rotation d'angle $\theta$ . La matrice est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$
Si $\theta=0$ , c'est l'identité, et si $\theta=\pi$ , c'est « moins l'identité », la symétrie centrale.
Isométrie indirecte : le déterminant vaut -1. C'est une symétrie orthogonale par rapport à la droite D $_{\frac{\theta}{2}}$ tournée de $\dfrac{\theta}{2}$ par rapport à l'axe .
La matrice est : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{array} \right) \end{displaymath}$

30.3.3 Isométries vectorielles de l'espace

Dans une base orthonormale, la matrice est orthogonale.

Isométrie directe : le déterminant vaut 1, le troisième vecteur est le produit vectoriel des 2 premiers.
C'est l'identité ou une rotation d'axe dirigé par un vecteur propre associé à 1 : et d'angle . On trouve ,
- en cherchant $\quad\cos\theta\quad$ par la trace qui vaut $1+2\cos\theta$
- en cherchant le signe de $\sin\theta\quad$ qui est celui de $\det\left( \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{u} ,f(\overrightarrow{u})\right)$ , avec $\overrightarrow{u}$ , un vecteur quelconque, non colinéaire à $\overrightarrow{e_1}$ .
Si $\theta=0$ , c'est l'identité, et si $\theta=\pi$ , c'est la symétrie orthogonale par rapport à l'axe.
Cette isométrie a, en principe, déjà été identifiée comme symétrie orthogonale.
Isométrie indirecte : le déterminant vaut -1, le troisième vecteur est l'opposé du produit vectoriel des 2 premiers. On cherche la trace :
- La trace vaut 1, ce qui revient à ce que 1 soit valeur propre.
  C'est une symétrie orthogonale par rapport au plan propre pour la valeur propre 1.
- La trace ne vaut pas 1, 1 n'est pas valeur propre, elle vaut .
  C'est la composée
  - d'une rotation d'angle $\theta$ et d'axe dirigé par un vecteur propre associé à la valeur propre -1 et
  - d'une symétrie par rapport au plan orthogonal à l'axe de la rotation.
  Le signe de $\sin\theta$ se trouve comme dans le cas d'une isométrie directe.

30.4 Identification des Isométries Affines

L'isométrie vectorielle associée s'obtient en « éliminant » les constantes.
On regarde si cette isométrie vectorielle n'est pas une symétrie orthogonale.
On cherche ensuite les points fixes de l'isométrie affine.

30.4.1 Isométries affines planes

Il y a un ou plusieurs point fixes. L'isométrie a la même description géométrique que l'isométrie vectorielle associée, « recentrée » en un point fixe.
Il n'y a pas de points fixes.
L'isométrie vectorielle associée est une symétrie orthogonale par rapport à une droite vectorielle $\Delta$ .
L'isométrie affine est la composée d'une symétrie orthogonale par rapport à une droite D de direction $\Delta$ et d'une translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ .
On trouve D et le vecteur de la translation en cherchant les points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}\in\Delta$ . On a alors : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MM'}$

30.4.2 Isométries affines de l'espace

Il y a un ou plusieurs point fixes. L'isométrie a la même description géométrique que l'isométrie vectorielle associée, « recentrée » en un point fixe.
Il n'y a pas de points fixes.
- Isométrie directe : l'isométrie vectorielle associée est une rotation vectorielle.
  L'isométrie affine est un vissage.
  L'axe et le vecteur de translation sont donnés en cherchant les points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}$ appartient à l'axe de la rotation vectorielle associée.
- Isométrie indirecte :
  L'isométrie vectorielle associée est une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel $\Pi$
  L'isométrie affine est la composée d'une symétrie orthogonale par rapport à un plan P de direction $\Pi$ et d'une translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ .
  On trouve P et le vecteur de la translation en cherchant les points tels que $\overrightarrow{MM^{\prime}}\in\Pi$
  On a alors : $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MM'}$