Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Troisième Partie : Géométrie

31 Droites et Plans affines

Sous-sections

31 Droites et Plans affines

On travaille toujours ici dans un repère, choisi auparavent. De plus, dès qu'il est question d'orthogonalité, de distance ou d'angle, ce repère est supposé orthonormal, sans que cela soit précisé à chaque fois.

31.1 Droites du plan

31.1.1 En coordonnées cartésiennes

La droite d'équation : $ax+by+c=0,\quad \left( a,b\right) \neq\left( 0,0\right)$ , est de vecteur directeur : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} -b\\ a \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ et de vecteur normal : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b \end{array} \right) \end{displaymath}$
La droite passant par : $\begin{displaymath}M_{0}:\left( \begin{array}[c]{c} x_{0}\\ y_{0} \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ et de vecteur directeur $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} \alpha\\ \beta \end{array} \right) \quad\left( \alpha,\beta\right) \neq\left( 0,0\right) \end{displaymath}$ , est d'équation : $\begin{displaymath}\quad\left\vert \begin{array}[c]{cc} x-x_{0} & \alpha\\ y-y_{0} & \beta \end{array} \right\vert =0\end{displaymath}$

31.1.2 En représentation paramétrique

La droite passant par $\begin{displaymath}M_{0}:\left( \begin{array}[c]{c} x_{0}\\ y_{0} \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ et de vecteur directeur $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} \alpha\\ \beta \end{array} \right) \end{displaymath}$ est de représentation paramétrique : $\begin{displaymath}\quad\left\{ \begin{array}[c]{c} x=x_{0}+\lambda\alpha\\ y=y_{0}+\lambda\beta \end{array} \right. \end{displaymath}$

31.1.3 Pour passer d'une représentation à une autre

De paramétriques en cartésiennes : éliminer $\lambda$ entre les deux équations.
De cartésiennes en paramétriques : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} x=\lambda\\ y=-\dfrac{c}{b}-\dfrac{a}{b}\lambda \end{array} \right. \end{displaymath}$ par exemple pour $b\neq0$ .

31.2 Plans de l'espace affine

31.2.1 En coordonnées cartésiennes

Le plan d'équation : $ax+by+cz+d=0,\quad$ est de vecteur normal : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}$
Le plan passant par $\begin{displaymath}M_{0}:\left($ et de vecteur normal $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}$ est d'équation : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} x-x_{0}\\ y-y_{0}\\ z-z_{0}... ...t( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) =0\end{displaymath}$ .

31.2.2 En représentation paramétrique

Le plan passant par $\begin{displaymath}M_{0}:\left($ et de plan directeur engendré par $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} \alpha\\ \beta\\ \gamma \end{array} \right) \end{displaymath}$ et $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} \alpha^{\prime}\\ \beta^{\prime}\\ \gamma^{\prime} \end{array} \right) \end{displaymath}$ est de représentation paramétrique : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{c} x=x_{0}+\lambda\alpha+\mu\alpha... ...z=z_{0}+\lambda\gamma+\mu\gamma^{\prime} \end{array} \right. \end{displaymath}$

31.2.3 Pour passer d'une représentation à une autre

De paramétriques en cartésiennes :
- éliminer $\lambda$ et $\mu$ entre les trois équations
- ou bien directement l'équation est : $\begin{displaymath}\quad\left\vert \begin{array}[c]{ccc} x-x_{0} & \alpha & \a... ...z-z_{0} & \gamma & \gamma^{\prime} \end{array} \right\vert =0\end{displaymath}$
De cartésiennes en paramétriques :
- chercher un point $\begin{displaymath}M_{0}:\left($ du plan,
- et chercher un vecteur $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} \alpha\\ \beta\\ \gamma \end{array} \right) \end{displaymath}$ non nul, normal à $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}$ par exemple $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} -b\\ a\\ 0 \end{array} \right) \end{displaymath}$ si $\left( a,b\right) \neq\left( 0,0\right)$
  Le produit vectoriel de ces deux vecteurs fournit un second vecteur : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} \alpha^{\prime}\\ \beta^{\prime}\\ \gamma^{\prime} \end{array} \right) \end{displaymath}$ qui convient.

31.3 Droites de l'espace affine

Par intersection de 2 plans d'équations : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{c} ax+by+cz+d=0\\ a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}z+d^{\prime}=0 \end{array} \right. \end{displaymath}$
Un vecteur directeur est $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} a\\ b\\ c \end{array} \rig... ...a^{\prime}\\ b^{\prime}\\ c^{\prime} \end{array} \right) \end{displaymath}$
En paramétriques, la droite passant par $\begin{displaymath}M_{0}:\left($ et de vecteur directeur $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} \alpha\\ \beta\\ \gamma \en... ...\quad\left( \alpha,\beta,\gamma\right) \neq\left( 0,0,0\right) \end{displaymath}$ est de représentation paramétrique : $\begin{displaymath}\left\{$

31.4 Angles

On travaille toujours dans un repère orthonormal direct.

l'angle de 2 vecteurs ou de 2 droites ou de 2 plans vérifie : $\quad\cos \theta=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left\Vert \overrightarrow {u}\right\Vert \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert },\quad$ applicable avec les vecteurs directeurs des droites ou les vecteurs normaux des plans selon les cas.
pour l'angle entre une droite et un plan, il faut appliquer la formule précédente avec un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan.
Eventuellement le résultat est $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ selon la question exacte posée.

31.5 Aires et Volumes élémentaires

On travaille dans un repère orthonormal.

Dans le plan, l'aire géométrique du triangle est : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left\vert\det\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\right\vert$
C'est bien la valeur absolue du déterminant ...
Dans l'espace, l'aire géométrique du triangle est : $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left\Vert \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\Vert$
Dans l'espace, le volume géométrique du parallélépipède construit sur est : $\mathcal{V}=\left\vert\det\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\right\vert$

L'aire algébrique dépend à chaque fois de l'orientation choisie.

31.6 Distances

On travaille toujours dans un repère orthonormal.

La distance de $\begin{displaymath}M_{0}:\left( \begin{array}[c]{c} x_{0}\\ y_{0} \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ à la droite d'équation $ax+by+c=0,\quad$ est : $\dfrac{\left\vert ax_{0}+by_{0}+c\right\vert }{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
La distance de $\begin{displaymath}\quad M_{0}:\left( \begin{array}[c]{c} x_{0}\\ y_{0}\\ z_{0} \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ au plan d'équation $ax+by+cz+d=0,\quad$ est : $\dfrac{\left\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right\vert }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
La distance de 2 droites non parallèles de l'espace : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{c} D_{1}:\left( A,\overrightarrow{... ...:\left( B,\overrightarrow{v}\right) \end{array} \right. \quad\end{displaymath}$ est : $\dfrac{\left\vert \det\left( \overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{u},\overrig... ...ight\vert }{\left\Vert \overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}\right\Vert }$
La distance d'un point à une droite $D:\left( A,\overrightarrow{u}\right)$ est donnée par : $\dfrac{\left\Vert \overrightarrow{AM}\wedge\overrightarrow{u}\right\Vert }{\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert }$