Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Troisième Partie : Géométrie

Une conique, éventuellement dégénérée, est une courbe plane ayant pour équation cartésienne avec un polynôme du second degré.

C'est : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$

et , avec , sont les demi grand axe et demi petit axe. Les foyers sont alors sur
$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}},\quad$ est la distance du centre aux foyers
$e=\dfrac{c}{a},\quad$ est l'excentricité

Les éléments de l'ellipse sont précisés figure ci-dessous.

$\includegraphics[width=6in]{ellipse}$

C'est : $\quad\dfrac{d\left( M,F\right) }{d\left( M,D\right) }=e$ , avec

On a : $\rho=\dfrac{p}{1+e\cos\theta },\quad$ un des foyers étant à l'origine

est le paramètre de l'ellipse, distance du foyer à la directrice correspondante, est l'excentricité
l'axe focal est
On trouve les autres paramètres en écrivant $\rho (0)+\rho(\pi)=2a\quad$ qui donne $a=\dfrac{p}{1-e^{2}}$

C'est : $y^{2}=2\,p\,x,\quad$ avec $p>0,\quad$ le paramètre

est le sommet et l'axe de symétrie
l'excentricité vaut 1 et l'unique foyer est à la distance $\dfrac{p}{2}$ du sommet sur l'axe de symétrie

C'est : $\dfrac{d\left( M,F\right) }{d\left( M,D\right) }=e=1,\quad$ La distance du foyer à la directrice est .

On a : $\rho=\dfrac{p}{1+\cos\theta },\quad$ le foyer étant à l'origine.

C'est : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$

les foyers sont alors sur
$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad$ est la distance du centre aux foyers
$e=\dfrac{c}{a},\quad$ est l'excentricité
les asymptotes sont d'équation : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} -\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\left( \dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}\right) \left( \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right) =0$
On les trouve en annulant le second membre dans l'équation réduite.

C'est : $\quad\dfrac{d\left( M,F\right) }{d\left( M,D\right) }=e$ , avec . Les éléments de l'hyperbole sont précisés figure ci-dessous.

$\includegraphics[width=6in]{hyperbole}$

C'est : $\rho=\dfrac{p}{1+e\cos\theta }\quad$ un des foyers étant à l'origine

est le paramètre de l'hyperbole, distance du foyer à la directrice correspondante, est l'excentricité
l'axe focal est

On part d'un polynôme non nul du second degré en et

cas où il n'y a pas de termes en
- avaler, si possible, les termes en et en dans des carrés $\left( x^{2}+ax=\left( x+\dfrac{a}{2}\right) ^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}\right)$
  Cela revient à faire une translation de l'origine du repère.
- se ramener ensuite à une des formes canoniques décrites.
  - On trouve des paraboles, hyperboles et ellipses (ou cercles)
  - mais aussi des coniques dégénérées : couple de droites, droite, point, vide.
cas où il y a des termes en
- on repère la forme quadratique formée des seuls termes du second degré : $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ on considère sa matrice $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{cc} a & b\\ b & c \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ qu'on diagonalise dans une base orthonormale directe de vecteurs propres, avec la matrice de passage et $\lambda$ et $\mu$ les deux valeurs propres.
  Cela revient à faire une rotation du repère.
- alors $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=\lambda X^{2}+\mu Y^{2}\quad$ avec $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} x\\ y \end{array} \right) =P\left( \begin{array}[c]{c} X\\ Y \end{array} \right) \quad\end{displaymath}$ qui nous sert aussi à transformer le reste de l'équation de la conique.
- il n'y a donc plus de termes en dans ce repère. On est ramené au cas précédent.