Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Troisième Partie : Géométrie

35 Quadriques

Sous-sections

35 Quadriques

Une quadrique, éventuellement dégénérée, est une surface ayant pour équation cartésienne avec un polynôme du second degré.

35.1 Equations réduites

Ellipsoïde (E) : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2} }{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1\quad$ avec $a>0\quad b>0\quad c>0$
Si $\quad a=b,\quad$ il est de révolution d'axe
Il ne contient pas de droites.
Paraboloïde elliptique (PE) : $\dfrac{x^{2}}{a^{2} }+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=2pz\quad$ avec $a>0\quad b>0$
Si $\quad a=b,\quad$ il est de révolution d'axe
Il ne contient pas de droites.
Paraboloïde hyperbolique (PH) : $\dfrac{x^{2}}{a^{2} }-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=2pz\quad$ avec $a>0\quad b>0$
Il n'est jamais de révolution, mais contient deux familles de droites obtenues en factorisant $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}},\quad$ ce qui donne : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}=k\\... ...c{x}{a}+\dfrac{y}{b}=\dfrac{2pz}{k} \end{array} \right. \quad\end{displaymath}$ et : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=k\\... ...c{x}{a}-\dfrac{y}{b}=\dfrac{2pz}{k} \end{array} \right. \quad\end{displaymath}$ avec non nul.
Par tout point, il passe deux droites distinctes tracées sur la surface, incluses également dans le plan tangent à ce point.
Hyperboloïde à 1 nappe (H1) :     $\dfrac{x^{2}}{a^{2} }+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1\quad$ avec     $a>0\quad b>0\quad c>0$
Si $\quad a=b,\quad$ il est de révolution d'axe
Le cône asymptote est d'équation :     $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} +\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=0$
Il contient deux familles de droites obtenues en factorisant : $\dfrac{x^{2} }{a^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}$ , et $1-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}$
ce qui donne :     $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \dfrac{x}{a}-\dfrac{z}{c}=k\lef... ...c{1}{k}\left( 1+\dfrac{y}{b}\right) \end{array} \right. \quad\end{displaymath}$ et :     $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} \dfrac{x}{a}+\dfrac{z}{c}=k\lef... ...c{1}{k}\left( 1+\dfrac{y}{b}\right) \end{array} \right. \quad\end{displaymath}$ avec non nul.
Par tout point, il passe deux droites distinctes tracées sur la surface, incluses également dans le plan tangent à ce point.
Hyperboloïde à 2 nappes (H2) : $\dfrac{x^{2}} {a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=-1\quad$ avec $a>0\quad b>0\quad c>0$
Si $\quad a=b,\quad$ il est de révolution d'axe
Le cône asymptote est d'équation : $\dfrac{x^{2}}{a^{2}} +\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=0$
H2 ne contient pas de droites.

Sur la figure ci-dessous, on a représenté les cinq quadriques propres.

$\textstyle \parbox{3.2in}{\begin{center} \includegraphics[width=3.2in]{PE} \\ Parabolo\uml {i}de Elliptique \end{center}}$ $\textstyle \parbox{3.2in}{\begin{center} \includegraphics[ width=3.2in ] {PH} \\ Parabolo\uml {i}de Hyperbolique \end{center}}$
$\textstyle \parbox{3.2in}{\begin{center} \includegraphics[ width=3.2in ] {H1} \\ Hyperbolo\uml {i}de \\lq {a} une nappe \end{center}}$ $\textstyle \parbox{3.2in}{\begin{center} \includegraphics[ width=3.2in ] {H2} \\ Hyperbolo\uml {i}de \\lq {a} 2 nappes \end{center}}$
$\textstyle \parbox{4in}{\begin{center} \includegraphics[width=4in]{E} \\ Ellipsoïde \end{center}}$

35.2 Intersection avec un plan

	E	PE	PH	H1	H2
Ellipse	$\times$	$\times$		$\times$	$\times$
Parabole		$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
Hyperbole			$\times$	$\times$	$\times$
Deux droites			$\times$	$\times$
Point	$\times$	$\times$			$\times$
Vide	$\times$	$\times$			$\times$

35.3 Identification d'une quadrique

On part d'un polynôme du second degré en , et .

cas où il n'y a de termes ni en , ni en ni en ,
- avaler si possible les termes en , et en dans des carrés $\left( x^{2}+ax=\left( x+\dfrac{a}{2}\right) ^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}\right)$
  Cela revient à faire une translation de l'origine du repère.
- se ramener ensuite à une des formes canoniques décrites.
  - On trouve des paraboloïdes elliptiques et hyperboliques, hyperboloïdes à 1 ou 2 nappes et ellipsoïdes (ou sphères)
  - mais aussi des quadriques dégénérées: cylindres, cônes, ..., point, vide
cas où il y a des termes en , ou ,
- la forme quadratique est formée des termes du second degré : $ax^{2}+2bxy+2cxz+dy^{2}+2eyz+fz^{2}$ , on considère sa matrice : $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{ccc} a & b & c\\ b & d & e\\ c & e & f \end{array} \right) , \quad\end{displaymath}$ qu'on diagonalise dans une base orthonormale de vecteurs propres, avec la matrice de passage et $\lambda$ , $\mu$ et $\nu$ , les trois valeurs propres.
  Si on a pris une base orthonormale directe, cela revient à faire une rotation du repère.
- alors : $ax^{2}+2bxy+2cxz+dy^{2}+2eyz+fz^{2}=\lambda X^{2}+\mu Y^{2}+\nu Z^{2},\quad$ avec $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{c} x\\ y\\ z \end{array} \rig... ...begin{array}[c]{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right) , \quad\end{displaymath}$ qui nous sert aussi à transformer le reste de l'équation de la quadrique.
- il n'y a donc plus de termes en , ou dans ce repère.
  On est ramené au cas précédent.