Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Troisième Partie : Géométrie

36 Surfaces de révolution, cylindres et cônes

Sous-sections

36.1 Surfaces de révolution
- 36.1.1 Surface de révolution $\Sigma$ engendrée par la rotation de $\Gamma$ autour de $\Delta$
- 36.1.2 Surface de révolution $\Sigma$ d'axe et de demi-méridienne
36.2 Cylindres
- 36.2.1 Cylindre de direction et de directrice donnés
- 36.2.2 Contour apparent
36.3 Cônes
- 36.3.1 Cône $\Sigma$ de sommet $\Omega$ et de directrice $\Gamma$
- 36.3.2 Contour apparent
36.4 Cylindres et cônes de révolution
- 36.4.1 Cylindre de révolution
- 36.4.2 Cône de révolution

36 Surfaces de révolution, cylindres et cônes

36.1 Surfaces de révolution

Définition : Une surface de révolution d'axe $\Delta$ est formée d'une famille de cercles d'axe $\Delta$
Un plan contenant l'axe de révolution est un plan méridien, son intersection avec la surface est une méridienne.

La méridienne est symétrique par rapport à l'axe de révolution. On parle parfois de demi-méridienne.

Théorème : Une surface de révolution a une équation de la forme : , avec : $S\left( x,y,z\right) =R^{2},\quad$ l'équation d'une sphère et $P\left( x,y,z\right) =k,\quad$ l'équation d'un plan.
L'axe de révolution est orthogonal à passant par le centre de .

Corollaire : Dans le cas où l'axe est la surface de révolution a une équation de la forme : $F(x^{2}+y^{2},z)=0$

36.1.1 Surface de révolution $\Sigma$ engendrée par la rotation de $\Gamma$ autour de $\Delta$

faire une figure symbolique.
$\includegraphics[height=3.0in]{Surface-revolution}$
partir d'un point quelconque de la surface $\Sigma$ cherchée $\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \right) \end{displaymath}$
écrire qu'un point de appartient à la fois
- à la sphère centrée sur un point arbitraire de $\Delta$ (choisi le plus simple possible) passant par
- au plan perpendiculaire à $\Delta$ passant par
éliminer les paramètres, on obtient l'équation d'une surface $\Sigma^{\prime}$ de révolution qui contient $\Sigma$ la surface cherchée.

Remarque : Si $\Gamma$ est donnée en paramètrique, un point de $\Gamma$ correspond à une valeur du paramètre, tandis que si $\Gamma$ est donnée par intersection de surfaces, un point de $\Gamma$ est repéré par $\begin{displaymath}\left( \begin{array}[c]{l} x_{0}\\ y_{0}\\ z_{0} \end{array} \right) \end{displaymath}$

36.1.2 Surface de révolution $\Sigma$ d'axe et de demi-méridienne

On reconstitue la méridienne complète $f(x,z)\times f(-x,z)=F\left( x^{2},z\right) =0$
La surface est d'équation $F\left( x^{2}+y^{2},z\right) =0$

36.2 Cylindres

Définition : Un cylindre de direction $\overrightarrow{u}$ est formée d'une famille de droites de direction $\overrightarrow{u}$ Ces droites sont les génératrices.
Une courbe qui rencontre toutes les génératrices est une directrice.
L'intersection de la surface avec un plan orthogonal à la direction $\overrightarrow{u}$ , est une section droite du cylindre.

Remarque : Un cylindre n'est, en général, pas un cylindre de révolution!

Théorème : Un cylindre de direction $\overrightarrow{u}$ a une équation de la forme : $F(P_{1},P_{2})=0$ , avec : $P_{1}\left( x,y,z\right) =k_{1},\quad$ et $P_{2}\left( x,y,z\right) =k_{2},\quad$ l'équation de deux plans.
De plus, $P_{1}\cap P_{2}\quad$ donne la direction $\overrightarrow{u}$ du cylindre.

Corollaire : Dans le cas où la direction est $\overrightarrow{k}$ le cylindre a une équation de la forme : .

36.2.1 Cylindre de direction et de directrice donnés

On cherche le cylindre $\Sigma$ de direction $\overrightarrow{u}$ et de directrice $\Gamma$

faire une figure symbolique.
$\includegraphics[]{Cylindre}$
partir d'un point quelconque de la surface $\Sigma$ cherchée $\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \right) \end{displaymath}$
écrire que la droite (décrite en paramétrique) $\left( M,\overrightarrow{u}\right)$ rencontre $\Gamma$
éliminer les paramètres, on obtient l'équation d'un cylindre $\Sigma^{\prime}$ qui contient $\Sigma$ le cylindre cherché.

36.2.2 Contour apparent

Pour le contour apparent de $\mathcal{S}$ , on écrit que le gradient de $\mathcal{S}$ en un point est normal à la direction du cylindre.
On note : $\begin{displaymath}\overrightarrow{u}: \left( \begin{array}[c]{l} \alpha \\ \beta\\ \gamma \end{array} \right) \end{displaymath}$
On obtient le contour apparent par intersection de surfaces :

$\displaystyle F\left( x,y,z\right)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \alpha\dfrac{\partial F}{\partial x}\left( x,y,z\right) +\beta \... ...z}\left( x,y,z\right) +\gamma\dfrac{\partial F}{\partial z}\left( x,y,z\right)$	$\displaystyle =0$

Remarque : Si le cylindre est circonscrit à une surface, on cherche le contour apparent, puis on cherche le cylindre de la direction donnée et de directrice ce contour apparent.

36.3 Cônes

Définition : Une cône de sommet $\Omega$ est formée d'une famille de droites passant par $\Omega$
Ces droites sont les génératrices. Une courbe qui rencontre toutes les génératrices est une directrice.

Remarque : Un cône n'est, en général, pas un cône de révolution!

Théorème : Une surface d'équation cartésienne un polynôme en est un cône de sommet si et seulement si tous les monômes sont de même degré (degré cumulé en ).

36.3.1 Cône $\Sigma$ de sommet $\Omega$ et de directrice $\Gamma$

faire une figure symbolique.
$\includegraphics[]{Cone}$
partir d'un point quelconque de la surface $\Sigma$ cherchée $\begin{displaymath}M:\left( \begin{array}[c]{l} X\\ Y\\ Z \end{array} \right) \end{displaymath}$
écrire que la droite (décrite en paramétrique) $\left( \Omega M\right)$ rencontre $\Gamma$
éliminer les paramètres, on obtient l'équation d'un cône $\Sigma^{\prime}$ qui contient $\Sigma$ le cône cherché.

36.3.2 Contour apparent

Pour le contour apparent de $\mathcal{S}$ vu du point $\Omega$ , on écrit que le gradient de $\mathcal{S}$ en un de ses points est normal au vecteur $\overrightarrow{\Omega P}$ .
On note : $\begin{displaymath}\Omega: \left( \begin{array}[c]{l} a \\ b\\ c \end{array} \right) \end{displaymath}$
On obtient le contour apparent par intersection de surfaces :

$\displaystyle F\left( x,y,z\right)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \left( x-a\right) \dfrac{\partial F}{\partial x}\left( x,y,z\righ... ...,z\right) +\left( z-c\right) \dfrac{\partial F}{\partial z}\left( x,y,z\right)$	$\displaystyle =0$

Remarque : Pour le cône circonscrit, on cherche d'abord le contour apparent puis le cône de sommet donné et de directrice ce contour apparent.

36.4 Cylindres et cônes de révolution

Remarque : On ne cherche pas l'équation d'un cylindre ou d'un cône de révolution comme celle d'un cylindre ou d'un cône ni comme celle d'une surface de révolution!...

36.4.1 Cylindre de révolution

Pour un cylindre de révolution défini par son axe $\quad D:\left( A,\overrightarrow{u}\right) \quad$ et son rayon
On cherche l'ensemble des points tels que la distance de à vaut . (Voir Page )
On élève tout au carré pour enlever les valeurs absolues.

36.4.2 Cône de révolution

Pour un cône de révolution défini par son axe dirigé par $\overrightarrow{u}$ , son sommet $\Omega$ et son demi angle au sommet $\theta$
On cherche l'ensemble des points tels que l'angle $\left( \overrightarrow {u},\overrightarrow{\Omega M}\right)$ a pour mesure $\theta$ . (Voir Page)
On élève tout au carré pour enlever les valeurs absolues.