Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

3 Nombres Complexes

Sous-sections

3 Nombres Complexes

3.1 Nombres Complexes

$ z=x+iy=\rho \, e^{i\theta}\qquad\overline{z}=x-iy=\rho\, e^{-i\theta} \qquad\rho=\vert z\vert=\vert-z\vert=\vert\overline{z}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$


$ \overline{z+z^{\prime}}=\overline{z} +\overline{z'}\qquad\overline{z\, z^{\pr... ...rac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}\qquad \vert z\vert^2=z\,\overline{z}$

3.2 Racines d'un nombre complexe


3.2.1 Racines carrées

Théorème :   $ z^{2}=a+ib$    avec    \begin{displaymath}z=x+iy\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} x^{2}-y^{2... ...\ \mathrm{signe}(xy)=\mathrm{signe}(b) \end{array} \right. \end{displaymath}

3.2.2 Racines $ n^{\grave{e}mes}$ de l'unité

Théorème :   $ z^{n}=1\Leftrightarrow z=e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ avec $ k\in\left\{ 0,1,2,\ldots,n-1\right\} $

3.2.3 Racines $ n^{\grave{e}mes}$ d'un nombre complexe

Théorème :   $ z^{n}=\rho\, e^{i\theta}\Leftrightarrow z=\sqrt[n]{\rho}\,e^{\frac{i\theta +2ik\pi}{n}}$    avec    $ k\in\left\{ 0,1,2,\ldots,n-1\right\} $

Remarque :   Les racines $ n^{\grave{e}mes}$ d'un complexe s'obtiennent en effectuant le produit de l'une d'entre elles par les racines $ n^{\grave{e}mes}$ de l'unité.


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing