Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Quatrième Partie : Maple

37 Bases

Sous-sections

37 Bases

37.1 Manipulations de base

Remarque : On ne confondra pas une expression et une fonction.
Par exemple : sin(t) est une expression de t, tandis que la fonction est : sin.
; ou :
Exécution d'une commande avec ou sans affichage du résultat.
> 12*13;
+ - * /
Somme, différence, produit ou quotient d'expressions.
> (x+2)/t;
** ou ^
Exponentielle.
> 12**13;
&*
Produit de matrices ou vecteurs.
Sans le &, Maple considère tous les produits comme commutatifs...
De plus l'usage deevalm est indispensable pour avoir un affichage effectif des lignes et colonnes.
> evalm(P*(-1)&*A&*P);
iquo irem
Quotient et reste de la division des entiers.
> iquo(1732,13);
quo rem
Quotient et reste de la division euclidienne des polynomes (il faut préciser la variable).
> r:=rem(x^5,x^2+1,x);
!
Factorielle.
> 123!;
binomial
Coefficients binomiaux comme $\mathcal{C}_{n}^{2}$
> binomial(2,n);
= < >
< >
<= >=
Opérateurs de comparaison,
souvent utilisés dans un si ... alors ... sinon,
ou dans une résolution d'équation ou inéquation.
> solve(x^2>1,x);
and or not
Opérateurs logiques,
souvent utilisés dans un si ... alors ... sinon.
> evalb(a=1 or b=0);
@
Composée de fonctions (qui ne sont pas des expressions ...).
> f2:=f@f;
:=
Affectation, permet de donner une valeur à une variable.
> a:=(x+1)/(x-1);
'variable'
Permet de libérer, désaffecter une variable.
> a:='a';
->
Définition rapide d'une fonction (qui n'est toujours pas une expression).
> f:=x->x^2-1;f(2);
''
Variable valant le dernier résultat calculé.
> p:=(x+1)/x;
> ''**2;

37.2 Constantes

Pi I infinity

Nombres $\pi$ , , et $+\infty$ , on fera attention aux majuscules !

> Pi,pi;
> evalf(Pi),evalf(pi);

37.3 Sommes et produits

sum product

Calcul de toute somme ou produit indicés.
On conseille d'utiliser des apostrophes.

> sum('1/(n^2)','n'=1..7);
> sum('p','n'=0..infinity);

37.4 Fonctions d'évaluation

Les fonctions d'évaluation sont nombreuses et importantes, elles forcent Maple à effectuer une évaluation de la quantité afin de ne pas rester en calcul formel...
Ceci est très important car l'éxécution d'une procédure ou d'un calcul n'est pas du tout la même selon que l'on travaille en calcul approché « flottant » ou en calcul formel « exact ».
Quand on veut au final du calcul approché, il faut se mettre en calcul approché le plus tôt possible...

eval
Evaluation générale d'une expression.
Cette instruction est surtout utilisée dans le corps des procédures pour forcer l'évaluation complète d'une expression.
> eval(Pi*3.14);
evalb
Evaluation d'une expression logique (booléenne), c'est une quantité vraie ou fausse, souvent utilisée dans un si... alors... sinon.
> evalb(x>=1);
evalf
Valeur approchée d'une expression, le nombre de chiffres significatifs est dans la variable Digits. Indispensable quand on ne veut pas que Maple reste inutilement en théorique.
> Digits:=50;
> evalf(Pi/2);
evalc
Evaluation d'un complexe en partie réelle et partie imaginaire.
Attention Maple considère a priori les variables libres comme complexes...
> evalc((2*I)^3);
evalm
Force l'évaluation d'un vecteur ou d'une matrice en ligne et colonnes,
ce que Maple ne fait pas de lui même.
> evalm(A&*B);

37.5 Transformation générale d'expressions

subs	Subsitue dans l'expression « p », l'expression « y » à la variable « x ».	> subs(x=y,p);
collect	Regroupe les termes d'une même puissance d'une expression par rapport à une variable.	> collect(p,x);
sort	Trie selon les puissances décroissantes une expression selon une variable.	> sort(p,x);
expand	Développe une expression polynomiale, trigonométrique, exponentielle ou logarithmique.	> expand((x-a)*7); > expand(sin(2x)); > expand(ln((x+1)/(x-1))); > expand(exp(x+2*y));
combine options : trig exp ln power	Presque la fonction réciproque de expand. Regroupe les termes selon l'option choisie (linéarise avec trig...).	> combine(sin(x)^7,trig);
factor	Factorise une expression. Il faut souvent ajouter les éléments utilisés dans la factorisation, qu'on peut chercher avec solve.	> factor(x2-2); > factor(x2-2,sqrt(2)); > factor(x2+2,sqrt(2)); > factor(x2+2,{sqrt(2),I});
convert options : parfrac tan	Convert possède de nombreuses options pour transformer une expression, en particulier trigonométrique. Avec l'option parfrac, il décompose en « éléments simples » une fraction rationnelle. Il vaut mieux auparavent factoriser complètement le dénominateur.	> convert(p,tan); > convert(p,parfrac,x);

37.6 Simplification d'expressions

normal	Simplifie (un peu) les fractions rationnelles. Comme pour « convert », on a intérèt à factoriser le dénominateur avant la demande de simplification.	> p:=(x^2-1)/(x^2+2*x+1); > normal(p);
simplify	Essaye de simplier une expression, possède de nombreuses options... mais peut également s'utiliser sans option.	> simplify(p);

37.7 Structures de données

a..b	Intervalle de a à b. Utilisé dans les tracés de courbes et les intégrales par exemple.	> int(sin(t),t=0..Pi); > plot(sin(t),t=0..Pi);
{a,b,c} union intersect	Ensemble formé de a, b et c, et opérateurs d'union et d'intersection d'ensembles. Utilisé par exemple pour tracer plusieurs courbes sur un même graphe.	>E:=E union {a,b } > plot({sin(t),cos(t)},t=0..Pi);
&lsqb#lbrack;a,b,c]	Liste formée de a, b et c. Utilisé par exemple pour tracer des courbes en paramétriques.	> plot([sin(t),cos(t),t=0..Pi], x=-2..2,y=-2..2);

; ou :	Exécution d'une commande avec ou sans affichage du résultat.	> 12*13;
+ - * /	Somme, différence, produit ou quotient d'expressions.	> (x+2)/t;
** ou ^	Exponentielle.	> 12**13;
&*	Produit de matrices ou vecteurs. Sans le &, Maple considère tous les produits comme commutatifs... De plus l'usage de`evalm` est indispensable pour avoir un affichage effectif des lignes et colonnes.	> evalm(P(-1)&A&*P);
iquo irem	Quotient et reste de la division des entiers.	> iquo(1732,13);
quo rem	Quotient et reste de la division euclidienne des polynomes (il faut préciser la variable).	> r:=rem(x^5,x^2+1,x);
!	Factorielle.	> 123!;
binomial	Coefficients binomiaux comme $\mathcal{C}_{n}^{2}$	> binomial(2,n);
= < > < > <= >=	Opérateurs de comparaison, souvent utilisés dans un si ... alors ... sinon, ou dans une résolution d'équation ou inéquation.	> solve(x^2>1,x);
and or not	Opérateurs logiques, souvent utilisés dans un si ... alors ... sinon.	> evalb(a=1 or b=0);
@	Composée de fonctions (qui ne sont pas des expressions ...).	> f2:=f@f;
:=	Affectation, permet de donner une valeur à une variable.	> a:=(x+1)/(x-1);
'variable'	Permet de libérer, désaffecter une variable.	> a:='a';
->	Définition rapide d'une fonction (qui n'est toujours pas une expression).	> f:=x->x^2-1;f(2);
''	Variable valant le dernier résultat calculé.	> p:=(x+1)/x; > ''**2;

eval	Evaluation générale d'une expression. Cette instruction est surtout utilisée dans le corps des procédures pour forcer l'évaluation complète d'une expression.	> eval(Pi*3.14);
evalb	Evaluation d'une expression logique (booléenne), c'est une quantité vraie ou fausse, souvent utilisée dans un si... alors... sinon.	> evalb(x>=1);
evalf	Valeur approchée d'une expression, le nombre de chiffres significatifs est dans la variable Digits. Indispensable quand on ne veut pas que Maple reste inutilement en théorique.	> Digits:=50; > evalf(Pi/2);
evalc	Evaluation d'un complexe en partie réelle et partie imaginaire. Attention Maple considère a priori les variables libres comme complexes...	> evalc((2*I)^3);
evalm	Force l'évaluation d'un vecteur ou d'une matrice en ligne et colonnes, ce que Maple ne fait pas de lui même.	> evalm(A&*B);