Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Quatrième Partie : Maple

39 Algèbre linéaire

Sous-sections

39 Algèbre linéaire

Le package « linalg » doit être chargé auparavant : > with(linalg);

39.1 Vecteurs

Remarque : Maple utilise des vecteurs qui sont mathématiquement des vecteurs colonne, mais qu'il écrit en ligne pour des questions de lisibilité sur l'écran !...
vector
Définition d'un vecteur colonne.
U[2] désigne la deuxième coordonnée de U.
> U:=vector([1,4,9]);
> U:=vector(3,i->i*i);
dotprod
Produit scalaire de 2 vecteurs.
> dotprod(U,V);
crossprod
Produit vectoriel de 2 vecteurs de $\mathbb{R}^{3}.$
> crossprod(U,V);
norm( $\cdots$ ,2)
Norme Euclidienne d'un vecteur.
> norm(U,2);

39.2 Procédé de Schmidt

GramSchmidt option
normalized

Applique le procédé de Schmidt à une liste de vecteurs et renvoie une famille orthogonale de vecteurs engendrant le même sous-espace.
L'option normalized permet d'avoir des vecteurs normés.

> GramSchmidt([U,V]);
> GramSchmidt([U,V],normalized);

39.3 Matrices

matrix	Définition d'une matrice (par lignes). A[2,3] est l'élément deuxième ligne, troisième colonne.	> A:=matrix([[1,2],[3,4]]); > B:=matrix(2,2,(i,j)->2*i+j);
transpose	Transpose une matrice ou un vecteur.	> transpose(A); > evalm(transpose(A));
inverse	Inverse une matrice carrée inversible.	> evalm(inverse(A)&*A);
rank	Rang d'une matrice (pour la valeur générale des paramètres...).	> r:=rank(A);
det trace	Déterminant et trace d'une matrice carrée.	> $\Delta$ :=det(A); > trace(A &* B) -trace(B &* A);

39.4 Eléments propres

charmat	Matrice caractéristique : $\left( A-\lambda I_{n}\right)$ .	> U:=charmat(A,lambda);
charpoly	Polynôme caractéristique : $\det\left( A-\lambda I_{n}\right)$ .	> P:=charpoly(A,x);
eigenvals	Valeurs propres, chacune avec son ordre de multiplicité . Mais Maple ne trouve pas nécessairement toutes les valeurs propres... Il vaut mieux factoriser d'abord le polynôme caractéristique, en ayant au besoin d'abord cherché les zéros avec un `solve`.	> eigenvals(A);
eigenvects	Valeurs propres, ordre de multiplicité et base de chaque sous-espace propre.	> eigenvects(A);

vector	Définition d'un vecteur colonne. U[2] désigne la deuxième coordonnée de U.	> U:=vector([1,4,9]); > U:=vector(3,i->i*i);
dotprod	Produit scalaire de 2 vecteurs.	> dotprod(U,V);
crossprod	Produit vectoriel de 2 vecteurs de $\mathbb{R}^{3}.$	> crossprod(U,V);
norm( $\cdots$ ,2)	Norme Euclidienne d'un vecteur.	> norm(U,2);