Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

5 Fractions Rationnelles

Sous-sections


5 Fractions Rationnelles

5.1 Décomposition en éléments simples

Théorème :   $ A=\dfrac{P}{Q}$ une fraction rationelle irréductible avec $ Q(x)=a\left( x-x_{1}\right) ^{p_{1}}\left( x-x_{2}\right) ^{p_{2}}\cdots\left( x-x_{n}\right) ^{p_{n}}$
Alors :    $ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=E(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left( \displaystyle \sum_{l=1}^{p_{k}}\dfrac{A_{k,l} }{\left( x-x_{k}\right) ^{l}}\right) $ avec $ E(x)$ le quotient de la division euclidienne de $ P$ par $ Q$.

En pratique, sur les réels et les complexes,

Sur les réels,

Exemple :   On va donner un exemple de décomposition directe en éléments simples sur $ \mathbb{R}$.
Soit :    $ \dfrac{2X+1}{\left( X+1\right) ^{2}\left( X^{2}+X+1\right) } =\dfrac{A}{X+1}+\dfrac{B}{\left( X+1\right) ^{2}}+\dfrac{CX+D}{X^{2}+X+1}$     car    $ X^{2}+X+1$ n'a pas de racines réelles, ses racines sont $ j$ et $ \overline{j}$.
Pour $ B$, on multiple par $ \left( X+1\right) ^{2}$, on simplifie et on fait$ X=-1$.
Cela donne : $ B=-1$.
Pour $ C$ et $ D$, qu'on peut trouver en même temps, car la fraction rationelle du départ est réelle, on multiplie par $ X^{2}+X+1$, on simplifie et on fait $ X=j$.
Comme $ C$ et $ D$ sont réels, on a les deux.$ Cj+D=\dfrac{2j+1}{\left( j+1\right) ^{2}}=\dfrac{2j+1}{\left( -j^{2}\right) ^{2}}=\dfrac{2j+1}{j}=2+j^{2}=2-1-j=1-j$, d'où : $ C=-1$ et $ D=1$.
Pour $ A$, on fait $ X=0$ ou bien on multiplie par $ X$ et on fait $ X=+\infty$.
Ce qui donne : $ A+C=0$ et donc : $ A=1$.

5.2 Conseils pratiques

Pour décomposer une fraction rationelle en éléments simples, il faut :


© Christophe Caignaert - Lycée Colbert - Tourcoing