Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

6 Espaces Vectoriels

Sous-sections

6 Espaces Vectoriels

6.1 Structure d'espace vectoriel

Définition : est un espace vectoriel sur $\begin{displaymath}\mathbb{K} \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{c} (E,+)... ...bda\mu.u\\ 1.u=u \end{array} \right. \end{array} \right. \end{displaymath}$

Définition : On appelle vecteurs les éléments de et scalaires les éléments de $\mathbb{K}$ .

Remarque : Un espace vectoriel possède une structure de groupe additif, l'élément neutre pour l'addition est le vecteur nul, noté ou simplement 0.
On prendra soin de ne pas le confondre avec le scalaire 0 ...

6.2 Sous-espace vectoriel

Théorème : $F\subset E$ est un sous-espace vectoriel de $\begin{displaymath}E \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} F\text{ est no... ...n\mathbb{K},\quad (\lambda.u+\mu.v)\in F \end{array} \right. \end{displaymath}$

C'est à dire est non vide et stable par combinaison linéaire.

Remarque : Ce théorème sert souvent pour montrer que est un espace vectoriel en montrant qu'il est un sous-espace vectoriel d'un espace connu et identifié...

6.3 Somme de sous-espaces vectoriels

Définition : $E=E^{\prime}+E^{\prime\prime}$ $\Leftrightarrow$ tout vecteur de est somme d'un vecteur $x^{\prime}$ de $E^{\prime}$ et d'un vecteur $x^{\prime \prime}$ de $E^{\prime\prime}$

On a la même définition pour la somme de plus de deux sous-espaces vectoriels.

Définition : $E=E^{\prime}+E^{\prime\prime}$ est directe $\Leftrightarrow$ $E^{\prime}\cap E^{\prime\prime}=\{0\}$ $\Leftrightarrow$ les composantes $x^{\prime}$ et $x^{\prime \prime}$ de sont uniques.
La somme directe des deux sous-espaces est alors notée $E^{\prime}\oplus E^{\prime\prime}$ .

Définition : On dit que les sous-espaces sont supplémentaires $\Leftrightarrow E=E^{\prime}\oplus E^{\prime\prime}$

6.4 Norme sur un espace vectoriel

Définition : $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{lll} E & \rightarrow & \mathbb{R}_... ... u & \mapsto & \left\Vert u\right\Vert \end{array} \right. \end{displaymath}$ est une norme $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} \forall u,v\in E... ...trightarrow u=0\text{ (s\'{e}paration)} \end{array} \right. \end{displaymath}$

6.5 Espaces vectoriels de dimension finie : base

Définition : $(x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n})$ est génératrice de E $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} \forall x\in E,\... ...a_{2}\, x_{2}+\cdots+\lambda_{n}\, x_{n} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Définition : $(x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n})$ est libre de E $\Leftrightarrow\left( \lambda_{1}\, x_{1}+\lambda_{2}\, x_{2}+\cdots+\lambda_{n}\, x_{n}=0\Leftrightarrow \lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots=\lambda_{n}=0\right)$

Définition : Une base est une famille libre et génératrice.

Définition : Un espace vectoriel est dit de dimension finie $\Leftrightarrow$ il possède une base comptant un nombre fini de vecteurs.
Sa dimension est alors le nombre de vecteurs de cette base.

Théorème : Toutes les bases de E ont le même nombre de vecteurs qui est, par définition, la dimension de E.

Théorème : Si E est de dimension : $(x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n})$ est une base $\Leftrightarrow (x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n})$ libre $\Leftrightarrow (x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n})$ génératrice

Définition : Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension de l'espace vectoriel engendré par ces vecteurs.

Théorème : $E=E^{\prime}\oplus E^{\prime\prime}$ $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} E^{\prime},E^{\p... ... E^{\prime}\cap E^{\prime\prime}=\{0\} \end{array} \right. \end{displaymath}$

Remarquons qu'on peut remplacer la condition $E^{\prime}\cap E^{\prime\prime}=\{0\}$ par $E=E^{\prime}+E^{\prime\prime}$

6.6 Espaces vectoriels usuels

$\mathbb{R}\left[ X\right]$ et $\mathbb{C}\left[ X\right]$ sont des espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ , de dimension infinie.

$\mathbb{R}_{n}\left[ X\right]$ et $\mathbb{C}_{n}\left[ X\right]$ sont des espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ , de dimension .

$\mathbb{R}^{n}$ et $\mathbb{C}^{n}$ sont des espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ , de dimension .

$\mathcal{A}\left( A,E\right)$ avec non vide et un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ .

$\mathcal{C}^{k}\left( A,\mathbb{R}\right)$ avec non vide et $k\in\mathbb{N\cup\{+\infty\}}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ .

$\mathcal{V}ect(x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n})$ est le plus petit sous-espace vectoriel de l'espace dans lequel se trouvent les vecteurs $x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n}$ .
On l'appelle l'espace vectoriel engendré par $x_{1},\, x_{2},\ldots,\, x_{n}$ .
Il est de dimension si et seulement si ces vecteurs forment une famille libre.

$\mathcal{L}\left( E,F\right)$ et $\mathcal{L}\left( E\right)$ les ensembles d'applications linéaires de dans ou de dans .

$\mathcal{M}_{n,p}\left( \mathbb{K}\right)$ et $\mathcal{M} _{n}\left( \mathbb{K}\right)$ les ensembles de matrices lignes, colonnes ou carrées $n\times n$ , de dimensions respectives $n\, p$ et .