Résumé de Cours de Sup et Spé T.S.I.

Première Partie : Algèbre

7 Applications Linéaires

Sous-sections

7 Applications Linéaires

7.1 Applications linéaires

Définition : $f:E\rightarrow F$ , avec E et F deux espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ est linéaire, ou est un morphisme, ou encore un homomorphisme $\begin{displaymath}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}[c]{l} \forall u,v\in E... ... \end{array} \right. f(\lambda.u+\mu.v)=\lambda.f(u)+\mu.f(v)\end{displaymath}$
$f:E\rightarrow E$ , linéaire est un endomorphisme
$f:E\rightarrow F$ , linéaire bijective est un isomorphisme
$f:E\rightarrow E$ , linéaire bijective est un automorphisme
$f:E\rightarrow\mathbb{K}$ , linéaire est une forme linéaire. $\mathbb{K}$ est ici considéré comme un espace vectoriel sur lui-même.

Théorème : $\mathcal{L}(E,F)$ et $\mathcal{L}(E)$ sont des espaces vectoriels sur $\mathbb{K}$ .
Si et sont de dimension finies et , la dimension de $\mathcal{L}(E,F)$ est $n\times p$ et celle de $\mathcal{L}(E)$ est

7.2 Image et noyau

Définition : Le noyau de , linéaire, est : $\ker (f)=\{u\in E,\quad f(u)=0\}$ .

Définition : L'image de , linéaire, est : $\mathrm{Im}(f)=\{v\in f,\quad \exists u\in E,\quad v=f(u)\}$ .

Théorème : $\begin{displaymath}\left. \begin{array}[c]{r} \text{L'image d'un s.e.v de }E\\ \text{L'image de }E \end{array} \right\} \end{displaymath}$ par $f:E\rightarrow F$ , linéaire, est un sous-espace vectoriel de F.

Théorème : L'image réciproque d'un s.e.v de par $f:E\rightarrow F$ , linéaire, est un sous-espace vectoriel de E.

Théorème : Le noyau de $f:E\rightarrow F$ , linéaire, est un sous-espace vectoriel de E.

Théorème : $f:E\rightarrow F$ , linéaire, est injective $\Leftrightarrow\ker(f)=\{0\}$

Remarque : En dimension finie, des bases étant choisies,

on recherche le noyau en résolvant un système linéaire sans second membre, la dimension du noyau est la dimension de l'espace de départ moins le rang du système, c'est aussi le nombre d'inconnues auxiliaires.
On obtient une base du noyau en distribuant tour à tour un 1 et des 0 sur les inconnues auxiliaires.
on recherche l'image en écrivant que les images des vecteurs de la base forment une famille génératrice de l'image, puis en otant les vecteurs inutiles de cette famille.

7.3 Projecteur

Définition : $p:E\rightarrow E$ est un projecteur $\Leftrightarrow p\circ p=p$

Théorème : $p:E\rightarrow E$ est un projecteur $\Rightarrow E=\operatorname{Im}(p)\oplus Ker(p)$ , mais ceci n'est pas une équivalence.

Remarque : $E=E_{1}\oplus E_{2}$ permet de définir la projection sur $E_{1}$ , parallèlement à $E_{2}$ et la projection sur $E_{2}$ , parallèlement à $E_{1}$ . On a alors .

7.4 Théorème du rang

Définition : $f:E\rightarrow F$ , linéaire, avec E de dimension finie, le rang de f est $\mathrm{rg}\,(f)=\dim (f(E))=\dim (Im(f))$ .

Théorème : $f:E\rightarrow F$ , linéaire, avec E de dimension finie $\Rightarrow \dim(E)=\dim(\ker (f))+\mathrm{rg}\,(f)$

Théorème : $\dim(\mathcal{L}(E,F))=\dim(E)\times\dim(F)$ et $\dim(\mathcal{L} (E))=\dim(E)^{2}$

Théorème : Si $\dim(E)=\dim(F)$ alors $\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}[c]{l} f\text{ bijective}\\ \Leftrig... ...toute base de }E\text{ en une base de }F \end{array} \right. \end{displaymath}$

7.5 Système linéaire

Pour résoudre un système linéaire de équations à inconnues :

On rend le système trapézoïdal en appliquant la méthode du pivot de Gauss
S'il y a des paramètres, on ne discute que lorsqu'on y est obligé pour appliquer le pivot de Gauss, au besoin en changeant l'ordre des lignes ou des colonnes.
- On connait à ce moment le rang du système : c'est le nombre d'équations linéaires indépendantes.
  Si le système est sans second membre, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension le nombre d'inconnues moins le rang.
- On voit à ce moment si le système est incompatible.
- S'il est compatible, le rang du système est le nombre d'équations restantes
  - Si on a, à ce moment, autant d'équations que d'inconnues : le système a une solution unique
  - Si on a, à ce moment, moins d'équations que d'inconnues, on garde autant d'inconnues principales que le rang.
    Les autres deviennent des inconnues auxiliaires, qui se traitent comme des paramètres.